Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Жесткие системы можно сравнить с плохо обусловленными системами алгебраических уравнений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений(ДУ)

 

,

(6.21)

 

где . Для решения (6.21) рассмотрим разностные методы вида

 

,

(6.22)

 

где n= m, m+ 1, m+ 2,….

Устойчивость и сходимость методов (6.22) определяется расположением корней характеристического уравнения, т.е. | q |£1 - корни принадлежат единичной окружности. Среди методов (6.22) выделим те, которые позволяют получить асимптотически устойчивые решения.

Пример. В качестве частного случая (6.21) рассмотрим уравнение вида

 

,

(6.23)

 

где: ; l<0; - решение ДУ. При l <0 решение есть монотонно убывающая функция при t®µ. Для этого решения можно записать при любом шаге t >0

 

,

(6.24)

 

что означает устойчивость решения.

Рассмотрим для задачи (6.23) метод Эйлера

 

,

 

где: n =0, 1, 2, …, , q -промежуточный параметр, равный 1+tl.

Оценка (6.24) для метода Эйлера будет выполнена тогда и только тогда, когда |q|£1. Шаг t лежит в интервале 0 < t <2/½l½. Метод Эйлера для задачи (6.23) устойчив при выполнении этого условия.

 

Определение 1. Разностный метод (6.22) называется абсолютно устойчивым, если он устойчив при любом t >0.

Определение 2. Разностный метод называется условно-устойчивым, если он устойчив при некоторых ограничениях на t.

Например, метод Эйлера для (6.23) условно-устойчив, т.к. 0 < t <2/½l½. Примером абсолютно устойчивого метода является неявный метод Эйлера

 

,

.

 

Замечание. Условная устойчивость является недостатком явных методов в связи с тем, что приходится выбирать мелкий шаг интегрирования.

Пример для задачи (6.23). Если l=-200, тогда t£0.01. Если мы рассмотрим интервал (0,1], то необходимо будет 100 шагов. Неявные методы со своей стороны приводят к решению на каждом шаге нелинейного уравнения, но это уже недостаток неявного метода.

 

6.3.1 Понятие жесткой системы ОДУ

 

Замечание. Все вышерассмотренные методы легко реализуются на примере одного уравнения и легко переносятся на системы ДУ, но при решении систем возникают дополнительные трудности, связанные с разномасштабностью описанных процессов.

Рассмотрим пример системы двух уравнений:

 

,

 

где: t >0; a₁,a₂>0. Это система однородных независимых ДУ

 

.

 

Решение монотонно убывает с ростом t. Пусть коэффициент а₂ на порядок и выше больше а₁, т.е. а₂>>a₁. Тогда компонента u₂ затухает гораздо быстрее u₁, начиная с некоторого момента времени t и тогда решение задачи u(t) полностью будет определяться поведением компоненты u₁. Однако при численном решении данной задачи шаг интегрирования t будет определяться компонентой u₂, несущественной с точки зрения поведения решения системы. Рассмотрим метод Эйлера для решения данной системы

 

.

 

Он будет устойчив, если на t наложены ограничения

 

.

 

Учитывая, что >> , получаем окончательное ограничение на t

 

.

 

Такие трудности могут возникнуть при решении любых систем ОДУ. Рассмотрим в качестве примера систему

 

,

(6.25)

 

где А -квадратная матрица m*m. Если матрица А имеет большой разброс собственных чисел, то возникают проблемы с разномасштабностью описываемых системой процессов.

Допустим, что матрица А постоянна (т.е. не зависит от t). Тогда система (6.21) будет называться жесткой, если:

1) вещественные части собственных чисел для всех k, где к =1,…,m;

2) число велико (десятки и сотни), и число S называется числом жесткости системы.

Если же матрица А зависит от t, то и собственные числа зависят от t и зависят от t.

Решение жесткой системы (6.25) содержит как быстроубывающие, так и медленно убывающие составляющие.

 

6.3.2 Некоторые сведения о других методах решения жестких систем

 

Разностные методы (6.22) для решения жестких систем на практике используются в виде методов Гира (неявный разностный метод) и метода матричной экспоненты(метод Ракитского).

 

6.3.2.1 Методы Гира

 

Это частный случай методов (6.22), когда коэффициент , . Запишем числовые коэффициенты, которые определяются из условия p -го порядка точности аппроксимации системы разностными методами

 

; ;

(6.26)

 

где l =2,..., p.

Решив систему линейных уравнений (6.26) с учетом предыдущих условий, получаем все нужные коэффициенты.

Трехшаговый метод Гира (частный случай методов (6.22) с учетом условий (6.26)) имеет вид

 

.

(6.27)

 

При m =4, получаем четырехшаговый метод Гира

 

.

(6.28)

 

Запишем систему (6.26) в виде

 

.

(6.29)

 

Решив (6.29) для каждого случая можем найти коэффициенты , к =1,2,…, т.

 

6.3.2.2 Метод Ракитского(матричной экспоненты) решения систем ОДУ

 

,

(6.30)

 

где: ; ; А -матрица размерности n*n.

Допустим, что матрица А - постоянная, т.е. ее элементы не зависят от времени. Система (6.30)–однородная, с постоянными коэффициентами. Запишем аналитическое решение (6.30)

 

,

(6.31)

 

где -матричная экспонента и

 

+….

(6.32)

 

Пусть необходимо (6.30) проинтегрировать при значениях t = t, 2 t, 3 t,….

Если точно знать матрицу , то точное решение в указанных точках можно получить по формуле (6.31), т.е. решение можно записать

 

……………..…

 

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы достаточно точно знать матрицу . На практике поступают следующим образом: при больших t рядом Тейлора нельзя воспользоваться в связи с его бесконечностью, т.е. для удовлетворительной точности пришлось бы взять много членов ряда, что трудно. Поэтому поступают так: отрезок [0, t ] разбивают на к -частей, чтобы длина h = t / к удовлетворяла условию || A*h ||<0.1. Тогда запишем по схеме Горнера

.

Каждый столбец матрицы - вычисляют по формуле

 

,

 

где - вектор столбец, в i - ой строке которого 1, а в остальных - нули.

 

Если эта матрица найдена, то решение находится по (6.31).

Для исследования разностных методов при решении жестких систем рассматривают модельное уравнение

 

,

(6.33)

 

где l-произвольное комплексное число.

Для того, чтобы уравнение (6.33) моделировало исходную систему (6.30) его нужно рассматривать при таких значениях l, которые являются собственными числами матрицы А. Многошаговые разностные методы (6.31) имеют вид

 

,

(6.34)

 

где: n=m, m +1…; m=t*l.

Если решение уравнения (6.34) искать в виде , то для нахождения числа q получим характеристическое уравнение вида

 

.

 

Для устойчивости метода достаточно выполнения условия корней . В случае жестких систем используются более узкие определения устойчивости.

Предварительные сведения. Областью устойчивости разностных методов называется множество всех точек комплексной плоскости m=t*l, для которых разностный метод применительно к уравнению (6.33) устойчив.

Определение 1. Разностный метод называется А-устойчивым, если область его устойчивости содержит левую полуплоскость комплексной полуплоскости, т.е. Rem<0.

Замечание. Решение модельного уравнения (6.33) асимптотически устойчиво при значениях Rem<0, поэтому сущность А-устойчивого метода заключается в том, что А-устойчивый разностный метод является абсолютно устойчивым, если устойчиво решение исходного дифференциального уравнения.

Так как класс А-устойчивых методов узок, то пользуются А(a)-устойчивым методом.

Определение 2. Разностный метод (6.31) называется А(a)-устойчивым, если область его устойчивости содержит угол меньший a, т.е. |arg(-m)|<a, где m=t*a. Исходя из этого определяется, что при a=90°=p/2 А(p/2) устойчивость совпадает с определением А-устойчивого метода.