Дифференциальное уравнение несвободной материальной точки.

Понятие связи.

1. Разнообразных материальных связей (взаимодействий) м/у телами очень много. Одни действия на тело м. описать силами, другие – трудно, а в теории - невозможно

Связи – объективные условия (действия), ограничивающие движение тела (на языке моделей МТ).

2. Классификация связей.

а) Удерживающая ;

б) Неудерживающая ;

в) Стационарная связь нет t (времени) – стационарная удерживающая связь;

г) Нестационарная ;

д) Неголономная связь - от скорости зависит;

е) Голономная связь - от скорости зависит;

- неудерживающая, нестационарная, неголономная связь.

Наложение связи уменьшает число степеней свободы материальной точки на единицу, так как само уравнение связи устанавливает некую взаимосвязь (x,y,z), оставляет независимыми только две координаты.

Если на материальную точку накладывается две связи заданные в виде уравнений поверхностей

, , то материальная точка имеет одну степень свободы, её движение осуществляется по кривой линии.

Различают идеальные и неидеальные связи по принципу – работа идеальных связей равна нулю.

Связь накладывает ограничения и на скорость материальной точки.

 

эта формула показывает, что - вектор не может быть любым хотя бы по направлению.

Заданные силы и силы реакции.

1. По своей природе связь – всегда материальное действие, т.е. в принципе, в простых случаях связь м. заменить действием и его описать силой. Эта процедура называется принципом освобождения от связей. Если принцип применим, то уравнение движения несвободной МТ имеет вид:

- заданные силы; - реакция связей.

3. Для шероховатой неподвижной поверхности (часто так) - реакция связей: (где - закон Кулона).

4. Свойства силы .

а) необычные силы как , у них есть свои св-ва.

б) зависят от

в) при отсутствии , не могут сообщить точке ускорения, т.е. они силы пассивные. В большинстве случаев самостоятельно не проявляющиеся.

Дифференциальные уравнения движения (не свободной МТ).

1. Их получают из основного уравнения:

; в зависимости от системы отсчёта получают разные системы уравнений; они сильно зависят от характера связи.

2. В декартовой системе отсчёта:

 

При естественном способе задания задается система отсчета «естественный трехгранник»:

Решается сложно, т.к. не расшифровали F_τ, F_N, F_b.

Основное уравнение относительного движения материальной точки.

Основное уравнение относительного движения материальной точки – это рассматривание материальной точки в разных системах отсчёта в инерциальных и неинерциальных.

Принцип относительности.

1. В кинематике материальной точки нет принципиального различия между инерциальными и неинерциальными системами отсчёта.

Различие систем отсчёта выражается лишь в формальной сложности уравнений, что не принципиально.

2. В динамике различия между системами отсчёта может быть принципиальным, в частности не во всех системах отсчёта выполняется великий закон , не инвариантен при переходе из одной системы отсчёта в другую систему отсчёта, в частности мы доказали, что не инвариантно оказывается ускорение в разных системах отсчёта.

3. Оказывается, существуют такие системы отсчёта, в которых инвариантно, они динамически эквивалентны, неразличимы.

Такие системы отсчёта называют инерциальными, они друг относительно друга двигаются прямолинейно и равномерно. Для них .

4. Переход из одной ИСО в другую управляется преобразованием Галилея, для простого случая:

Классический принцип относительности выражается в инвариантности законов Ньютона, относительно преобразований Галилея.

Силы инерции.

3. В случае НИСО, появляются ускорения, к-е нельзя объяснить действием матер. тел – это св-во системы. Ускорения, обусловленные самой системой отсчета сводятся к а_пер и а_кар.

Вот и получаем Þ по закону сложения ускорений при сложении движений материальной точки.

2. Выражениям скобкам может быть приписан смысл силы, их стали называть силами инерции.

Для общего случая при наличии связи имеем уравнение

- Основное уравнение динамики МТ в НИСО

3. Для случая покоя материальной точки в такой системе отсчёта получаем

Основное уравнение МТ в НИСО

Получаем уравнение:

2. Если связей нет, то r=0 и уравнение будет:

4. Если система отсчёта равномерно вращается (наша Земля), а МТ без связи, но движется, то:

, при отсутствии связей свободное падение.

Угловое ускорение:

Принцип эквивалентности.

1. Принцип эквивалентности яв-ся обобщением опыта изучения и описания движений тел в разных СО. Он утверждает, что m_r =km_r

Локальное гравитационное поле равнозначно существованию НИСО, специально выбранных.

Если локально-гравитационное поле эквивалентно поступательно и ускоренно движущейся СО, то тогда Ур-е движения МТ с одной стороны – в ИСО в гравитационном поле, с другой стороны – в НИСО без гравитационного поля должны иметь одинаковый вид.

а) В ИСО при наличии поля имеем:

Гравитационная сила

б) В НИСО поля нет (СО движется прямолинейно, равноускоренно, то МТ в СО покоится, но на нее действуют силы)

Его легко м. подобрать, чтобы было:

Вывод: подбором НИСО м. создать ситуацию (локальную), когда ур-е движения МТ будет равносильно Ур-ю движения МТ в ИСО в гравитационном поле.

26.Равновесие МТ на поверхности Земли.

1. Земля - неинерциальная система отсчёта с постоянной скоростью вращения. Равновесие материальной точки (и любой системы материальных точек) важный случай механических явлений на Земле. Если точка покоится, то, значит, действует связь и в общем виде уравнение движения таково:

- это и есть уравнение равновесия.

2. Решим его.

На материальную точку действует (см. рис.) две силы и . Природа одной - действие Земли, природа второй – вращающаяся система отсчёта. Очевидно, что эти две силы не могут привести к равновесию материальной точки.

Очевидно, на материальную точку действует третья сила – сила реакции опоры, вместе три силы компенсируются, и создаётся условие равновесия.

По определению - по определению.

3. Задача: в целом получается, что уравнение, описывающее движение материальной точки будет равно .

1. Задача – определение угла отклонения отвесной линии.

Отвесной линией называется линия, по которой располагается тяга материальной точки на нить (математический маятник).

Эта линия вектора , значит надо знать угол или угол.

1) Этот - мал;

2) - зависит от положения материальной точки на поверхности Земли.

4. Метод определения - геометрически.

(где по определению).

- это выражение позволяет определить , если известно , т.е. положение точки на поверхности Земли, географическая широта (широта места).

При известной можно подсчитать . Принимают при , ,

5. Задача. Определить, как меняется g с широтой места .

Геометрический метод решения

Если взять точку на полюсе, то , g₀ – на полюсе.

На полюсе радиус вращения материальной точки равен 0, т.е. .

, При малых .

а) ускорение свободного падения МТ зависит от положения МТ на поверхности Земли.

б) max на полюсе.

Свободное падение МТ в условиях Земли.

1) МТ с высоты Н свободно падает без начальной скорости, значит на нее действует F_г, I_пер.цс., I_кар

2) Основное ур-е:

3) Его решение д.б. последовательным: выбор осей СО, получение ДУ, их решение с учетом начальных условий.

28. Описание движения твёрдого тела. Число степеней свободы. Координаты твёрдого тела. Кинематические уравнения движения. Углы Эйлера.

Описание движения твёрдого тела. Проблема описания движения.

1. Твёрдое тело – это модель тела; обычно называют абсолютно твёрдое тело.

Абсолютно твёрдое тело – называют неизменную систему м. точек, расстояния между которыми постоянно.

2. Число степеней свободы твёрдого тела.

У одной м. точки – три степени свободы или три независимых координаты. Это значит, что для описания её положения необходимо задать три уравнения движения.

 

Для двух м. точек необходимо задать уже пять уравнений движения:

(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²+(z₂–z₁)²=l²

 

Для трёх точек шесть уравнений движения: Для четырёх точек тоже шесть уравнений движения, т.е. тоже 6 степеней свободы.

Вывод: абсолютно твёрдое тело с N точками с составе имеет шесть степеней свободы; для его описания необходимо шесть уравнений движения.

3. Выбор независимых координат для описания твёрдого тела.

 

Свяжем с абсолютно твёрдым телом ещё одну систему координат. X´Y´Z´ - жестко связана с твёрдым телом и вместе с ним движется.

Задача состоит в том, чтоб описать в неподвижной СО поведение подвижной СО; описание движения подвижной СО равносильно описанию твёрдого тела.

Надо выбрать шесть независимых параметров.

а) Три параметра – это положение подвижной СО т. О´, т.е. x₀, y₀, z₀.

б) Остальные три параметра должны описывать вращение подвижной СО, т.е. изменение осей подвижной СО.

Выберем эти три параметра, связанные с вращением. Девять направляющих косинусов задают положение оси, но они не независимы.

Рациональный выбор независимых координат, связанных с вращением подвижной СО был сделан Эйлером.

Плоскость X´OY´ пересекает плоскость XOY по линии N.

ψ – угол прецессии;

φ – угол вращения;

Θ – угол нутаии.

Маятник Фуко.

1. Это типичная задача описания дв-я МТ в конкретной НИСО (земля). Она имеет ситорическое значение: в ней предсказывается, что плоскость качания маятника дв-ся, вращается (1850, Фуко). Решение и опыт док-ли неинерциальность системы Земля.

2. Постановка задачи.

(ввиду малости)-географич-я широта. Угол отклонения маятника малый, т.е. колебания гармонические, в нач-й момент вр-ни маятник находится в центре СО.

3.Определим проекции нужных векторов на оси., и одновременно запишем само основное уравнение маятника. ,

а)

б) -сила, действующая со стороны нити на МТ. .

направлена вертикально вниз ,

4. Строим дифф-е ур-я дв-я, проектируя основное уравнение на оси.

, =0

Эта система приближенно описывает движение матем маятника в системе Земля, но хорошо. Решается она приближенно при нек-х дополнительных упрощениях.

5. Упростим сист. ДУ.

а) При малости , будем пренебрегать величинами меньше по сравнению , тогда из условия , - величина второго порядка малости.

 

б) -по величине мала, тогда -пренебрегаем. Из 3-го ур-я имеем , N=mg. И неком приближении учтем это при изменении 1 и 2 ур-й.

6. Для решения полученной системы перейдем в новую СО- полярную.(для удобства). Используем искусств прием:

надо подчеркнутые выр-я изменить, увидев в них производные какой-то ф-и.

,

перейдём к полярной системе

Интегрируем: t=0, r=0 – начальное условие Þ С=0. , т.е. , Угол меняется с постоянной скоростью. (скорость) и (географ-я широта)постоянные для данной земли и для данной точки местности, что означает, что плоскость колебания маятника вращается.

Виды движения.

1). Поступательное движение – это такое движение Т.Т, при котором любая прямая, проведённая в твёрдом теле перемещается параллельно самой себе. При этом траектории точек Т.Т. могут быть сами разными.

Получается, что вращательного движения твёрдого тела нет, значит, ψ, φ, Θ - const.

Раз точки прямой по определению движутся одинаково, то их движения будет описано, если описано движение одной точки, то есть известен для т. О´.

В этом случае твёрдое тело имеет три степени свободы.

Для описания движения надо знать и скорости точек твёрдого тела, в данном случае, они находятся дифференцированием линейных уравнений движения.

2). Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

а).Это такое движение, при котором в твёрдом теле можно провести прямую, точки которой имеют нулевую скорость.

б). Совместим OZ с OZ´.

Допустим, ось вращения совпадает с OZ. Выберем произвольную точку М, траектория её движения будет окружность, с радиусом ρ. Положение точки М задаётся радиусом вектором .

В случае только движения из трёх углов ψ, φ, Θ изменяется лишь один – угол φ, движение имеет одну степень свободы

Для характеристики вращения твёрдого тела (а значит и подвижной СО), вводят угловую скорость ω, как , и вводят вектор угловой скорости , модуль которого равен , а направление по оси вращения, по правилу буравчика (правого винта).

– вектор скользящий. У него нет фиксированного начала.

Докажем, что .

· по определению – касательная к траектории точки М. Её модуль V=ω·ρ, где ω – скорость вращения точки М.

· Вектор векторного произведения лежит перпендикулярно плоскости, образованной этими векторами. Этот вектор совпадает с направлением вектора , что и требовалось доказать.

Для определения скорости надо знать направление скорости.

То есть при наличии (известных) x, y, z – положение т. М, надо знать проекции угловой скорости на оси неподвижной СО.