Классическая механика как теория механического движения макроскопических систем. Границы её применимости. Классическое представление о пространстве и времени.

Классическая механика как теория механического движения макроскопических систем. Границы её применимости. Классическое представление о пространстве и времени.

1. Объекты изучения.

Классическая механика изучает движение макроскопических тел. За них принимают материальные объекты от атомов до звёзд. У них есть общее – изменение положения в пространстве с течением времени. Такое движение фундаментально в природе, в принципе оно определяет все другие физические явления (обусловленные движением).

2. Предмет (классическая механика)…

Классическая механика – система знаний, в принципе наука. Отсюда её предмет – знание, но особое от других механик, отличающееся более строгим использованием математических моделей (но в том числе и физических моделей). Какие знания изучает классическая механика:

а) модели объектов природы – фундамент из них материальная точка (МТ);

б) принципы – относительности, дальнодействия, как механизма взаимодействия, симметрии, дополнимости, соответствия;

в) понятия и физические величины – основные средства описания объектов и явлений;

 

 

 

г) законом и вершиной является система знаний – теория;

3. Теория.

а) Теория – это замкнутая система понятий, объясняющая явления данной области;

б) Её структура:

 

Классические представления о пространстве и времени.

1. Пространство и время в механике не зависят от движения тел – их существование, фундаментальное свойство нашего мира.

2. В механике Ньютона постулируется абсолютность пространства и времени, кроме того, пространство считается непрерывным, однородным, изотропным – евклидовым; время – непрерывно, однородно, однонаправлено.

Свойства пространства и времени получают цифровое выражение, говорят об их арифметизации. Эталоны длинны и времени.

Границы применимости.

а) Всей механики – в новых объектах изучения (микрочастицы, поля, релятивистское движение);

б) классическая механика материальной точки – только для данной модели, для малых скоростей, в инерциальных системах отсчёта (ИСО), для малых взаимодействий

2. Уравнения движения.

1. Элементарное механическое событие – это нахождение материальной точки в точке пространства с XYZ в момент t.

. Механическим движением называют непрерывную совокупность элементарных механических событий. Для описания механического движения надо иметь систему отсчета.

Проблема синхронизации часов в механике решается легко- мгновенный сигнал (дальнодействие) позволяет это делать автоматически.

2. Положение материальной точке в системе отсчёта (обычно выбирают простую, трехмерную, прямолинейную, ортогональную, декартовую с.о.) задается радиус-вектором ,где -единичные орты .

 

при движении положение м.т. с течением времени изменяется т.е. - это средство описания мех. дв. – кинематический закон дв. При описании дв. В с.о. стремятся получить уравнения в самой элементарной форме, ч/з простейшее дв по осям х, у, z. x=x(t) y=y(t) z=z(t)-кинематическими уравнениями движения. зная их можно найти все другие ккинемат хар-ки дв

4 в декартовой со положение м.т. определяется тройкой чисел (х,у,z), говорят,чтосвободная м. т. имеет три степени свободы. В этой с о эти Ур дв имеют вид x=x(t) y=y(t) z=z(t). Эти Ур дают и траекторию дв с учетом св- в пространства выбраны и св-ва Ур, они непрерывны, дифференцируемы..

5. Но удобно использовать полярную систему отсчёта.

ее связь с дек сов случае плоского дв. Простая

В общем случае любой системы отсчёта имеем три уравнения движения q₁(t), q₂(t), q₃(t) - криволинейные.

От одной системы отсчёта и уравнений, можно перейти к другой.

x=x(q₁, q₂, q₃)=f(t)

y=y(q₁, q₂, q₃)=f(t) – функция времени.

z=z(q₁, q₂, q₃)=f(t)

(q₁, q₂, q₃ - обобщённые координаты).

6. Достаточно распространённым является естественный способ движения материальной точки. Он выражается:

а) задаётся траектория;

б) определяется закон движения по траектории S=S(t).

Динамика материальной точки. Основные понятия и законы

1. В науке недостаточно внешнего писания явлений, она вскрывает причины. Единственной причиной механического движения -механич.взаимодействие макроскопических тел на расстоянии и соприкосновении.

По природе это гравитационные и электромагнитные взаимодействия.

Принцип независимости взаимодействий: материальные причины взаимосвязи не могут зависеть от логики, цели, исчезать и появляться по желанию.

2. Основными понятиями являются:

а) Ускорение материальной точки, сила, как характеристика действия, масса, как характеристика инертности.

В механике 2 взаимодействия тел: появление ускорений; деформация тел

С учетом явления и цели изучения строят модели тела, гениальная – материальная точка.

3. Законы динамики (Ньютона)

1. изолированная МТ находится в покое или равномерном прямолинейном движении (СО в которых это так называют ИСО)

2. ускорение МТ совпадает по направлению с направлением силы, прямо-пропорционально ей, обратно-пропорционально массе.

3. силы, с которыми действуют друг на друга 2 взаимодействующие МТ равны по величине, противоположны по направлениям.

4. Принцип суперпозиции сил:

если на МТ действует n сил, то каждая сила приводит к ускорению а₁,..а_n, которые в конечном итоге приводят к движению тела с ускорением а, это движение приводимой силы F.

3. Для описания мех.движения вводится система отсчета, наиболее простая – ИСО.

В ИСО причиной ускоренного движения явл-ся материальное действие, т.е. реализуется механический детерменизм.

Механическая эквивалентность ИСО фиксируется в принципе относительности Галилея:

 

По принципу независимости действий сила – инвариант, на основе 2 з-на Ньютона масса – инвариант.

Роль начальных условий.

1. Получается, что силы однозначно не определяют движение материальной точки. Однозначность решения определяется дополнительными условиями, которые называются начальными, это координаты и скорость в начальный момент времени при t=0.

Итак, получаем: t=0;

2. Из этой системы выражающей начальные условия можно получить значения наших неопределённых постоянных.

Имеем право сейчас эти постоянные подставить в общее решение и получить уже частное решение в виде:

Эти кинематические уравнения описывают тот случай движения, который у нас действительно происходит.

Принцип причинности.

Если заданы силы и начальные условия, то в механике с помощью основного Ур-я можно предсказать состояние системы в любой момент прошлого и будущего. Эта идея получила название механический детерминизм.

1) возникает проблема с точностью определения начальных условий

2) в этой модели невозможно учесть действие случайных сил

3) модель не работает для большого числа частиц и в микромире.

Это ограничивает строгий детерминизм.

Понятие связи.

1. Разнообразных материальных связей (взаимодействий) м/у телами очень много. Одни действия на тело м. описать силами, другие – трудно, а в теории - невозможно

Связи – объективные условия (действия), ограничивающие движение тела (на языке моделей МТ).

2. Классификация связей.

а) Удерживающая ;

б) Неудерживающая ;

в) Стационарная связь нет t (времени) – стационарная удерживающая связь;

г) Нестационарная ;

д) Неголономная связь - от скорости зависит;

е) Голономная связь - от скорости зависит;

- неудерживающая, нестационарная, неголономная связь.

Наложение связи уменьшает число степеней свободы материальной точки на единицу, так как само уравнение связи устанавливает некую взаимосвязь (x,y,z), оставляет независимыми только две координаты.

Если на материальную точку накладывается две связи заданные в виде уравнений поверхностей

, , то материальная точка имеет одну степень свободы, её движение осуществляется по кривой линии.

Различают идеальные и неидеальные связи по принципу – работа идеальных связей равна нулю.

Связь накладывает ограничения и на скорость материальной точки.

эта формула показывает, что - вектор не может быть любым хотя бы по направлению.

Принцип относительности.

1. В кинематике материальной точки нет принципиального различия между инерциальными и неинерциальными системами отсчёта.

Различие систем отсчёта выражается лишь в формальной сложности уравнений, что не принципиально.

1. В динамике различия между системами отсчёта может быть принципиальным, в частности не во всех системах отсчёта выполняется великий закон , не инвариантен при переходе из одной системы отсчёта в другую систему отсчёта, в частности мы доказали, что не инвариантно оказывается ускорение в разных системах отсчёта.

3. Оказывается, существуют такие системы отсчёта, в которых инвариантно, они динамически эквивалентны, неразличимы.

Такие системы отсчёта называют инерциальными, они друг относительно друга двигаются прямолинейно и равномерно. Для них .

4. Переход из одной ИСО в другую управляется преобразованием Галилея, для простого случая:

 

 

Классический принцип относительности выражается в инвариантности законов Ньютона, относительно преобразований Галилея.

Силы инерции.

1. В случае НИСО, появляются ускорения, к-е нельзя объяснить действием матер. тел – это св-во системы. Ускорения, обусловленные самой системой отсчета сводятся к а_пер и а_кар. Вот и получаем Þ по закону сложения ускорений при сложении движений материальной точки.

2. Выражениям скобкам может быть приписан смысл силы, их стали называть силами инерции.

,

Для общего случая при наличии связи имеем уравнение

- Основное уравнение динамики МТ в НИСО

3. Для случая покоя материальной точки в такой системе отсчёта получаем

Основное уравнение МТ в НИСО

Получаем уравнение:

2. Если связей нет, то r=0 и уравнение будет:

2. Если система отсчёта равномерно вращается (наша Земля), а МТ без связи, но движется, то:

, при отсутствии связей свободное падение.

Угловое ускорение:

Принцип эквивалентности.

1. Принцип эквивалентности яв-ся обобщением опыта изучения и описания движений тел в разных СО. Он утверждает, что m_r =km_r

Локальное гравитационное поле равнозначно существованию НИСО, специально выбранных.

Если локально-гравитационное поле эквивалентно поступательно и ускоренно движущейся СО, то тогда Ур-е движения МТ с одной стороны – в ИСО в гравитационном поле, с другой стороны – в НИСО без гравитационного поля должны иметь одинаковый вид.

а) В ИСО при наличии поля имеем:

Гравитационная сила

б) В НИСО поля нет (СО движется прямолинейно, равноускоренно, то МТ в СО покоится, но на нее действуют силы)

Его легко м. подобрать, чтобы было: =

Вывод: подбором НИСО м. создать ситуацию (локальную), когда ур-е движения МТ будет равносильно Ур-ю движения МТ в ИСО в гравитационном поле.

Работа силы.

а) Определение. Для постоянной силы работа определяется , скалярное произведение векторов.

Работа физическая величина, единица измерения [Дж], прямого измерения нет, характеризует действие на перемещении.

б) Для элементарной работы существует определение: , где - элементарный вектор перемещения.

Оказывается в общем случае правая часть, а значит и элементарная работа не является полным дифференциалом какой-либо функции.

в) В интегральном виде для работы получаем

При преобразовании подынтегрального выражения пределы интегрирования может быть и по времени от до , так задачи решают, рассчитывая работу.

Потенциальные силы.

а) Определение. Потенциальной силой называют силу, которая удовлетворяет условию (u-СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ.)и которая не зависит от скорости и

б) доказательство потенциальности силы может быть разное, в частности опирается на правило

, если . , а, значит, проекции ротора на оси равны нулю, т.е. или ; и на другие оси подобные условия.

в) Стационарное поле.

Сила зависит от времени. СТАЦИОН-Я СИЛА-сила, к-я не зависит от времени.

, а , тогда для работы имеем

элементарная работа для такой является дифференциалом функции .

При интегрировании получаем:

Т.е. работа не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положением.

, проинтегрируем: ,

Видно, сто потенциальная энергия в точке зависит от выбора точки отсчёта, от выбора нулевой потенциальной энергии (нормировано), нет однозначности в определении U. Изменяемая лишь разность потенциальных энергий, т.е. работа.

г) При определении потенциальности силы удобно использовать

если производная силы опред-ся так, то сила потенциальна. Квазиупругая сила: .В общем случае имеем три подобных уравнения.

Нестационарная сила- большой класс сил, к-е зависят от времени.

, а

В случае такой силы, у нас работу уже не выражается через разность потенциальной энергии; её расчёт более сложен.

Силы инерции.

3. В случае НИСО, появляются ускорения, к-е нельзя объяснить действием матер. тел – это св-во системы. Ускорения, обусловленные самой системой отсчета сводятся к а_пер и а_кар.

Вот и получаем Þ по закону сложения ускорений при сложении движений материальной точки.

2. Выражениям скобкам может быть приписан смысл силы, их стали называть силами инерции.

Для общего случая при наличии связи имеем уравнение

- Основное уравнение динамики МТ в НИСО

3. Для случая покоя материальной точки в такой системе отсчёта получаем

Основное уравнение МТ в НИСО

Получаем уравнение:

2. Если связей нет, то r=0 и уравнение будет:

4. Если система отсчёта равномерно вращается (наша Земля), а МТ без связи, но движется, то:

, при отсутствии связей свободное падение.

Угловое ускорение:

Принцип эквивалентности.

1. Принцип эквивалентности яв-ся обобщением опыта изучения и описания движений тел в разных СО. Он утверждает, что m_r =km_r

Локальное гравитационное поле равнозначно существованию НИСО, специально выбранных.

Если локально-гравитационное поле эквивалентно поступательно и ускоренно движущейся СО, то тогда Ур-е движения МТ с одной стороны – в ИСО в гравитационном поле, с другой стороны – в НИСО без гравитационного поля должны иметь одинаковый вид.

а) В ИСО при наличии поля имеем:

Гравитационная сила

б) В НИСО поля нет (СО движется прямолинейно, равноускоренно, то МТ в СО покоится, но на нее действуют силы)

Его легко м. подобрать, чтобы было:

Вывод: подбором НИСО м. создать ситуацию (локальную), когда ур-е движения МТ будет равносильно Ур-ю движения МТ в ИСО в гравитационном поле.

26.Равновесие МТ на поверхности Земли.

1. Земля - неинерциальная система отсчёта с постоянной скоростью вращения. Равновесие материальной точки (и любой системы материальных точек) важный случай механических явлений на Земле. Если точка покоится, то, значит, действует связь и в общем виде уравнение движения таково:

- это и есть уравнение равновесия.

2. Решим его.

На материальную точку действует (см. рис.) две силы и . Природа одной - действие Земли, природа второй – вращающаяся система отсчёта. Очевидно, что эти две силы не могут привести к равновесию материальной точки.

Очевидно, на материальную точку действует третья сила – сила реакции опоры, вместе три силы компенсируются, и создаётся условие равновесия.

По определению - по определению.

3. Задача: в целом получается, что уравнение, описывающее движение материальной точки будет равно .

1. Задача – определение угла отклонения отвесной линии.

Отвесной линией называется линия, по которой располагается тяга материальной точки на нить (математический маятник).

Эта линия вектора , значит надо знать угол или угол.

1) Этот - мал;

2) - зависит от положения материальной точки на поверхности Земли.

4. Метод определения - геометрически.

(где по определению).

- это выражение позволяет определить , если известно , т.е. положение точки на поверхности Земли, географическая широта (широта места).

При известной можно подсчитать . Принимают при , ,

5. Задача. Определить, как меняется g с широтой места .

Геометрический метод решения

Если взять точку на полюсе, то , g₀ – на полюсе.

На полюсе радиус вращения материальной точки равен 0, т.е. .

, При малых .

а) ускорение свободного падения МТ зависит от положения МТ на поверхности Земли.

б) max на полюсе.

Свободное падение МТ в условиях Земли.

1) МТ с высоты Н свободно падает без начальной скорости, значит на нее действует F_г, I_пер.цс., I_кар

2) Основное ур-е:

3) Его решение д.б. последовательным: выбор осей СО, получение ДУ, их решение с учетом начальных условий.

28. Описание движения твёрдого тела. Число степеней свободы. Координаты твёрдого тела. Кинематические уравнения движения. Углы Эйлера.

Описание движения твёрдого тела. Проблема описания движения.

1. Твёрдое тело – это модель тела; обычно называют абсолютно твёрдое тело.

Абсолютно твёрдое тело – называют неизменную систему м. точек, расстояния между которыми постоянно.

2. Число степеней свободы твёрдого тела.

У одной м. точки – три степени свободы или три независимых координаты. Это значит, что для описания её положения необходимо задать три уравнения движения.

 

Для двух м. точек необходимо задать уже пять уравнений движения:

(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²+(z₂–z₁)²=l²

 

Для трёх точек шесть уравнений движения: Для четырёх точек тоже шесть уравнений движения, т.е. тоже 6 степеней свободы.

Вывод: абсолютно твёрдое тело с N точками с составе имеет шесть степеней свободы; для его описания необходимо шесть уравнений движения.

3. Выбор независимых координат для описания твёрдого тела.

 

Свяжем с абсолютно твёрдым телом ещё одну систему координат. X´Y´Z´ - жестко связана с твёрдым телом и вместе с ним движется.

Задача состоит в том, чтоб описать в неподвижной СО поведение подвижной СО; описание движения подвижной СО равносильно описанию твёрдого тела.

Надо выбрать шесть независимых параметров.

а) Три параметра – это положение подвижной СО т. О´, т.е. x₀, y₀, z₀.

б) Остальные три параметра должны описывать вращение подвижной СО, т.е. изменение осей подвижной СО.

Выберем эти три параметра, связанные с вращением. Девять направляющих косинусов задают положение оси, но они не независимы.

Рациональный выбор независимых координат, связанных с вращением подвижной СО был сделан Эйлером.

Плоскость X´OY´ пересекает плоскость XOY по линии N.

ψ – угол прецессии;

φ – угол вращения;

Θ – угол нутаии.

Маятник Фуко.

1. Это типичная задача описания дв-я МТ в конкретной НИСО (земля). Она имеет ситорическое значение: в ней предсказывается, что плоскость качания маятника дв-ся, вращается (1850, Фуко). Решение и опыт док-ли неинерциальность системы Земля.

2. Постановка задачи.

(ввиду малости)-географич-я широта. Угол отклонения маятника малый, т.е. колебания гармонические, в нач-й момент вр-ни маятник находится в центре СО.

3.Определим проекции нужных векторов на оси., и одновременно запишем само основное уравнение маятника. ,

а)

б) -сила, действующая со стороны нити на МТ. .

направлена вертикально вниз ,

4. Строим дифф-е ур-я дв-я, проектируя основное уравнение на оси.

, =0

Эта система приближенно описывает движение матем маятника в системе Земля, но хорошо. Решается она приближенно при нек-х дополнительных упрощениях.

5. Упростим сист. ДУ.

а) При малости , будем пренебрегать величинами меньше по сравнению , тогда из условия , - величина второго порядка малости.

 

б) -по величине мала, тогда -пренебрегаем. Из 3-го ур-я имеем , N=mg. И неком приближении учтем это при изменении 1 и 2 ур-й.

6. Для решения полученной системы перейдем в новую СО- полярную.(для удобства). Используем искусств прием:

надо подчеркнутые выр-я изменить, увидев в них производные какой-то ф-и.

,

перейдём к полярной системе

Интегрируем: t=0, r=0 – начальное условие Þ С=0. , т.е. , Угол меняется с постоянной скоростью. (скорость) и (географ-я широта)постоянные для данной земли и для данной точки местности, что означает, что плоскость колебания маятника вращается.

Виды движения.

1). Поступательное движение – это такое движение Т.Т, при котором любая прямая, проведённая в твёрдом теле перемещается параллельно самой себе. При этом траектории точек Т.Т. могут быть сами разными.

Получается, что вращательного движения твёрдого тела нет, значит, ψ, φ, Θ - const.

Раз точки прямой по определению движутся одинаково, то их движения будет описано, если описано движение одной точки, то есть известен для т. О´.

В этом случае твёрдое тело имеет три степени свободы.

Для описания движения надо знать и скорости точек твёрдого тела, в данном случае, они находятся дифференцированием линейных уравнений движения.

2). Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

а).Это такое движение, при котором в твёрдом теле можно провести прямую, точки которой имеют нулевую скорость.

б). Совместим OZ с OZ´.

Допустим, ось вращения совпадает с OZ. Выберем произвольную точку М, траектория её движения будет окружность, с радиусом ρ. Положение точки М задаётся радиусом вектором .

В случае только движения из трёх углов ψ, φ, Θ изменяется лишь один – угол φ, движение имеет одну степень свободы

Для характеристики вращения твёрдого тела (а значит и подвижной СО), вводят угловую скорость ω, как , и вводят вектор угловой скорости , модуль которого равен , а направление по оси вращения, по правилу буравчика (правого винта).

– вектор скользящий. У него нет фиксированного начала.

Докажем, что .

· по определению – касательная к траектории точки М. Её модуль V=ω·ρ, где ω – скорость вращения точки М.

· Вектор векторного произведения лежит перпендикулярно плоскости, образованной этими векторами. Этот вектор совпадает с направлением вектора , что и требовалось доказать.

Для определения скорости надо знать направление скорости.

То есть при наличии (известных) x, y, z – положение т. М, надо знать проекции угловой скорости на оси неподвижной СО.

Момент инерции.

1). В общем случае при изучении движения важное значение имеет распределение массы, а не просто масса твёрдого тела.

Только при поступательном движении достаточной характеристикой является масса твёрдого тела в целом.

Инертнее свойства твёрдого тела связанные с распределением массы твёрдого тела описываются новой физической величиной (новой характеристикой) – моментом инерции.

Она определяется относительно оси, которую мы выбираем.

Момент инерции определяется так:

 

2). Вводят моменты инерции относительно осей декартовой СО.

У этих моментов инерции есть св-ва:

г) А´+B´–C´ 0.

H – момент инерции относительно полюса центра СО (Н=const).

3). Теорема Штейнера.

а). Теорема связывает момент инерции относительно произвольной оси с моментом инерции оси при параллельном переносе оси, проходящей через центр масс.

, где d – расстояние между осями.

Оси S и C – параллельны. б).По определению момента инерции относительно оси S

. Раз оси разные, то момент инерции относительно осей разные.

 

 

Задача: сравнить моменты инерции относительно наших 2х осей:

По теореме косинусов имеем:

И определим момент инерции

в). Используя определение и выражение для ( - координата dm, т.е. х )получим:

момент инерции относительно оси ч/з центр масс всегда наименьше.

32. Зависимость момента инерции от направления оси.

1). Момент импульса твёрдого тела сильно зависит от направления оси, т.е. .

Покажем это.

Положение S задаётся положением единичного вектора или cos(α), cos(β), cos(γ). – местоположение момента dm.

 

2). Построим момент инерции. Выразим ρ, что самое трудное.

Заметим, что α, β, γ – определяют положение оси и для данного случая постоянны.

3). Выполним возведение в степень, систематизацию выражений. Подставим выражение в определение момента инерции, ведём обозначения моментов инерции относительно осей СО и центробежных моментов инерции.

– имеют смысл моментов инерции, поэтому получили название центробежных моментов инерции.