Кинематические уравнения движения.

Физические основы механики.

1. Кинематика поступательного движения.

 

Механическое движение.

Материя, как известно, существует в двух видах: в виде вещества и поля. К первому виду относятся атомы и молекулы, из которых построены все тела. Ко второму виду относятся все виды полей: гравитационные, электромагнитные, ядерные, слабые. Различные виды материи при определенных условиях могут превращаться друг в друга: электрон и позитрон аннигилируют и превращаются в -квант и обратно.

Формой существования материи является движение во времени и пространстве. Под движением понимают любое ее изменение.

Простейшей и в тоже время наиболее распространенной формой движения в природе является механическое движение, т.е. изменение взаимного положения тел во времени.

Раздел физики изучающий закономерности механического движения и взаимодействия тел называется механикой. Механическое действие со стороны других тел приводит к изменению состояния движения рассматриваемого тела или к его деформации, т.е. к изменению взаимного расположения его частей.

Механику тел, которые движутся с ν<<c, называют классической в отличие от релятивистской механики быстро движущихся тел. Основы первой были разработаны Ньютоном и она называется классической или ньютоновской. Релятивистская механика основана на специальной теории относительности Эйнштейна и содержит ньютоновскую механику как частный случай при ν<<c.

Классическая механика содержит два раздела: кинематику и динамику.

Кинематика описывает движение тел, не рассматривая причин, его вызвавших. Основным разделом механики является динамика, которая изучает влияние взаимодействия тел на их механическое движение, т.е. рассматривает движение в причинно-следственной связи.

В механике для описания реальных тел пользуются в зависимости от условий конкретной задачи различными приближенными моделями или абстракциями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело и др.

Пространство и время.

Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Эти понятия являются основополагающими для всех естественных наук. Любое тело имеет размеры, т.е. свою пространственную протяженность. Время выражает порядок смены состояний, составляющий любой процесс, любое движение. Оно является мерой длительности этого процесса. Т.о. пространство и время представляют собой наиболее общие формы существования материи.

Не имеет смысла говорить о положении и механическом движении тела в пространстве «вообще», всегда говорят о положении и движении относительно какого-то другого конкретного тела: Солнца, Земли и др.

Система отсчета.

Для однозначного определения положения тела в произвольный момент времени необходимо выбрать систему отсчета - систему координат, снабженнуя часами и жестко связаннуя с абсолютно твердым телом, по отношению к которому определяется положение других тел в различные моменты времени. При этом под часами подразумевают любое устройство для измерения времени, точнее промежутков времени между событиями, т.к. в силу однородности времени, его начало отсчета можно выбрать произвольно. В ньютоновской механике свойства пространства описываються геометрией Эвклида, а ход времени одинаков во всех системах отсчета. Систему отсчета, связанную с Землей называют земной.

Наиболее часто пользуются правой, прямоугольной, декартовой системой координат, рис.1. Здесь - единичные по модулю, взаимно перпендиклярные векторы-орты системы координат, образующие ее ортонормированный базис.

Система координат называется правой, т.к. при наблюдении из конца орта вращение от к вектору (по кратчайшему расстоянию) видно против часовой стрелки, т.е. взаимная ориентация векторов , , совпадает с взаимной ориентацией трех пальцев правой руки (большого, указательного и среднего), если они перпендикулярны.

Положение т. М относительно системы координат задается двумя способами: указанием всех координат точки, x, y, z,, либо указанием её радиус-вектора , который можно разложить по базису , , :

 

Координаты точки М x, y, z, называются также координатами или компонентами радиуса-вектора относительно базиса, векторы - составляющими вектора по осям координат. Т.к. система ортогональна, то x, y, z, равны соответствующим проекциям вектора на оси координат.

где α, β, γ - углы между и ортами осей координат.

Поступательное движение

Простейшим видом механического движения твердого тела является поступательное движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела перемещается вместе с телом, оставаясь параллельной| своему первоначальному положению (шарик на пружине относительно Земли, поршень в цилиндре стационарного двигателя, лифт, резец токарного станка и др.). Траектории всех точек тела одинаковы. Радиусы - векторы всех точек тела за время изменяется на одну и ту же величину , скорости всех точек и их ускорения одинаковы:

;

т.е. для описания движения можно взять одну точку тела; если при этом , то и тогда, интегрируя, находим скорость точки:

; Затем, интегрируя скорость , найдем координату:

 

Закон инерции.

В основе классической механики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в сочинении «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687г. Эти законы явились результатом гениального обобщения опытных данных и теоретических закономерностей в области механики, которые были установлены Ньютоном, а также Кеплером. Галилеем, Гюйгенсом. Гуком и др.

В качестве первого закона динамики Ньютон принял закон, установленный еще Галилеем:

Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не заставит изменить это состояние.

Этот закон утверждает, что для состояния покоя или равномерного прямолинейного движения не требуется внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции, а движение тела в отсутствии внешних воздействий, движением по инерции.

В этой формулировке закона считается, что тело не деформируется, т.е. оно абсолютно твердое, и что оно движется поступательно. Однако, твердое тело может еще равномерно вращаться по инерции, обладая при этом ускорением. Необходимость во всех этих оговорках отпадает, если в первом законе Ньютона говорить не о теле, а о материальной точке, которая по определению не может ни деформироваться, ни вращаться.

Поэтому для материальной точки пользуются формулировкой:

материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не выведет её из этого состояния.

 

Сила.

Сила - мера механического воздействия одного тела на другое, векторная величина. Взаимодействие в механике может осуществляться непосредственно в контакте или между удаленными телами с помощью связанных с ними фундаментальных физических полей: гравитационного и электромагнитного. Сила задана, если указаны её модуль, направление и точка приложения.

Из опытов следует что действие нескольких сил, которые приложены в одной точке тела, можно заменить действием одной силы, равной их геометрической сумме , приложенной в той же точке и называемой результирующей.

В рамках классической механики имеют дело с гравитационными и электромагнитными силами, а также с силами упругости и трения. Две последние силы определяются характером взаимодействия атомов и молекул и являются по своей природе электромагнитными.

Для решения практических задач вводят следующие силы:

1. Однородная сила тяжести - сила гравитационного взаимодействия вблизи поверхности Земли, совпадает с весом, если опора или подвес неподвижны.

2. Упругая сила - сила упругой деформации в законе Гука.

3. Сила трения ;

4. Сила сопротивления среды - действует при поступательном движении тела в газе или жидкости. При больших скоростях коэффициент зависит от скорости тела.

 

Третий закон Ньютона

Наблюдения и опыты свидетельствуют о том, что механическое действие одного тела на другое является всегда взаимодействием. Если тело 2 действует на тело 1, то тело 1 обязательно противодействует телу 2. Например, на ведущие колеса автомобиля со стороны шоссе действует сила трения покоя в сторону движения автомобиля, а колеса действуют на шоссе также с силой трения в противоположную сторону.

Количественное описание механического взаимодействия было дано Ньютоном в его третьем законе динамики.

Взаимодействия двух тел друг на друга равны между собой по величине и направлены в противоположные стороны.

 

Силы взаимодействия всегда появляются парами. Обе силы приложены к разным телам и являются силами одной природы.

В третьем законе предполагается, что обе силы равны по модулю в любой момент времени независимо от движения тел. Это соответствует ньютоновской механике, в которой взаимодействие распространяется мгновенно. Такое предположение называется принципом дальнодействия ньютоновской механики, согласно ему скорость распространения взаимодействия бесконечно большая. В действительности это не так, поэтому третий закон, а также второй имеют определенные границы применения. При << оба закона выполняются с очень большой точностью.

Законы Ньютона являются основными законами. Из них могут быть выведены все остальные законы механики.

 

 

2.8. Преобразования Галилея

Они позволяют определить кинематические величины при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Возьмем две системы отсчета, одна из которых К неподвижна, а вторая - движется относительно со скоростью вдоль оси . Пусть начала координат систем совпадали при . Запишем соотношение между радиусами – векторами и одной и той же точки в и системах, рис.:

; (1) Или в координатной форме:

; (2)

; (3)

; (4)

(5)

Подразумевается, что длины отрезков и ход времени не зависит от состояния движения и одинаковы в системах и . Предположение об абсолютности пространства и времени лежит в основе ньютоновской механики, подтвержденной многочисленными экспериментами для .

Уравнения (1-5) называются преобразованиями Галилея.

Продифференцировав их по времени, получим связь между скоростями точки А в системах отсчета и в векторной и координатной формах:

(6)

(7)

(8)

(9)

Эти формулы дают правила сложения скоростей в классической механике. Соотношение (6) справедливо и для произвольного выбора взаимных направлений координатных осей систем отсчета и .

После второго дифференцирования получим с учетом того, что :

,

т.е. ускорение точки во всех системах отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно, оказывается одинаковым.

 

Законы сохранения.

Сохраняющиеся величины

Любое тело или система тел представляют собой совокупность материальных точек или частиц. Состояние такой системы в некоторый момент времени в механике определяется заданием координат и скоростей всех ее частиц.

Зная природу сил, действующих на частицы системы и ее состояние в начале отсчета времени, можно рассчитать поведение системы в любой последующий момент времени. Так решаются задачи о движении планет солнечной системы в небесной механике.

Однако если система состоит из многих частиц или природа сил действующих на частицы неизвестна, то детальное поведение системы предсказать невозможно. В некоторых случаях не имеет смысла знать движение отдельных частиц, например, в сосуде с газом нет смысла изучать движение отдельных молекул.

В этом случае пользуются наиболее общими принципами, которые являются следствиями законов Ньютона, это законы сохранения. При движении системы её состояние изменяется. Однако существуют такие физические величины, называемые интегралами движения которые сохраняются. Наиболее важные среди них: это энергия, импульс и момент импульса. Они имеют свойство аддитивности: для системы невзаимодействующих частиц эта физическая величина равна сумме величин отдельных её частей.

Законы сохранения имеют глубокое происхождение, связанное с фундаментальными свойствами времени и пространства.

Сохранение энергии связано с однородностью времени, т.е. с однозначностью всех одинаковых отрезков времени.

В основе сохранения импульса лежит однородность пространства, т.е. одинаковость его свойств во всех точках пространства.

Сохранение момента импульса обусловлено изотропностью пространства - одинаковостью его свойств по всем направлениям.

Законы сохранения выходят за рамки механики и физики вообще и являются универсальными законами природы. При решении новых задач, обычно, вначале применяют один за другим законы сохранения и, если этого оказывается недостаточно, записывают уравнения движения.

 

3.. 2. Закон сохранения импульса системы.

Если взять замкнутую или изолированную систему тел или частиц, то импульс такой системы будет равен геометрической сумме импульсов частиц, составляющих систему:

.

Поскольку замкнутой называется система, на которую не действуют внешние силы, то такая система является инерциальной.

Импульс является одной из важнейших физических категорий (величин) по той причине, что в замкнутой системе он (вектор ) не изменяется, какие бы движения не происходили внутри системы. Это положение носит название закона сохранения импульса.

Закон сохранения импульса следует непосредственно из законов Ньютона. Для каждого из тел замкнутой системы можно записать основной закон динамики:

;

Если записать это уравнение для первой частицы, то в правой части будет стоять сумма сил, действующих на нее со стороны остальных частиц: ; для второй:

;

И так далее, или в общей форме т.е. для частицы:

(),

изменение импульса всех частиц найдем суммированием:

().

По третьему закону Ньютона силы взаимодействия и частиц равны по величине и противоположны по направлению . Эти силы являются внутренними для системы и их сумма равна нулю.

Левую часть последнего выражения по известному правилу дифференцирования суммы можно записать:

.

Таким образом,

; т.е. . Или

Величина и направление импульсов отдельных тел могут меняться, но их геометрическая сумма в замкнутой системе сохраняется.

Если действуют внешние силы то:

.

Т.е., можно сказать, что причина изменения импульса системы — действие внешних сил. Импульс может сохраняться и в замкнутой системе, если результирующая внешних сил равна нулю.

У незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс , а его проекция на некоторое направление. Это бывает, если проекция результирующей силы на это направление равна нулю. Например, при движении системы в однородном поле сил тяжести сохраняется проекция импульса на горизонтальное направление, т.е., , что бы в системе не происходило.

Подчеркнем, что закон сохранения импульса выполняется только в инерциальной системе. Это не исключает случаев, когда сохранялся бы и в неинерциальной системе отсчета. Для этого достаточно, чтобы в уравнении внешняя сила , которая включает и силы инерции была равна нулю. Это может выполняться при специальных условиях.

 

Центр масс

В любой системе частиц можно найти точку, называемую центром масс , которая обладает рядом важных свойств. Её положение относительно начала данной системы отчета, определяется радиусом-вектором .

Центр масс совпадает с центром тяжести для однородного поля сил тяготения.

Найдем скорость движения центра масс системы

;

Если , то система, как целое, покоится, т.е. имеет смысл скорости движения всей системы, как целого. Поскольку, , то

т.е., импульс системы равен произведению ее массы на скорость движения центра масс.

Работа и энергия

Работа

Пусть частица М под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. Сила, в общем случае, может меняться во времени по модулю и направлению, но на элементарном перемещении её можно считать .

Действие силы на перемещении характеризуется физической величиной, равной скалярному произведению , которая называется элементарной работой силы на перемещении . Её можно записать как , где — угол между и - элементарный путь проекция вектора на вектор , или на направление s.

Значит, элементарная работа (*)

- величина алгебраическая, она может быть , или , а также равна нулю при .

Суммируя элементарные работы (т.е., интегрируя) по всем элементарным участкам пути от 1 к 2 найдем работу силы на данном пути.

.

Геометрический смысл этого выражения виден из рисунка, на котором - площадь полоски шириной и высотой ; - площадь под всей кривой. Над осью работа силы положительна, под осью — отрицательна.

Размерность работы .

Найдем для примера работу некоторых центральных сил.

1. Работа гравитационной или кулоновской силы.

Пусть в точке О находится неподвижная материальная точка, действующая на частицу М с силой ; —орт радиуса- вектора , a -постоянная, равная -jm₁m₂ для гравитационной и kq₁q₂ для кулоновской силы. Элементарная работа этой силы на перемещении : ; Скалярное произведение — приращение модуля вектора ;

Тогда , а работа на всем пути: .

2. Работа упругой силы

— радиус- вектор частицы М относительно точки О. Элементарная работа в этом случае ;Здесь -проекция вектора на вектор . Она равна приращению модуля вектора на перемещении . Работа на всем пути .

3. Работа силы тяжести Элементарная работа силы тяжести: ; Скалярное произведение — приращение координаты . Тогда
; А работа на пути 1-2 равна .

Работа всех рассмотренных сил не зависит от формы пути между точками 1 и 2, а зависит только от положения этих точек. Эта особенность присуща не всем силам. Силы трения, например, не обладают таким свойством.

 

4.2 Мощность по определению это работа, выполненная за единицу времени. Если за промежуток времени сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени т.е. скалярное произведение на вектор скорости , с которой движется точка приложения данной силы: .

— как и работа, величина алгебраическая.

Зная можно найти работу, которую совершает сила за конечное время : , поскольку , то , тогда:

Единица мощности в системе СИ .

 

Консервативные силы

Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и других сил. Поле сил может быть постоянным во времени, тогда оно называется стационарным. Стационарное поле в одной системе отсчета, может быть нестационарным в другой. В стационарном поле сила, действующая на частицу, зависит только от её положения в пространстве.

Работа, которую совершают силы поля по перемещению частицы из т.1 в т.2 зависит, в общем случае, от формы пути между этими точками, например, при перемещении с участием сил трения. Однако, имеются стационарные силовые поля, в которых работа сил поля над частицей не зависит от пути между т.1 и т.2. Силы, обладающие таким свойством называются консевативными. Это свойство можно сформулировать другим способом: силы поля являются консервативными, если их работа в стационарном поле на любом замкнутом пути равна нулю.

Разобъем произвольный замкнутый контур на две части: 1а2 и 2в1, рис. Тогда работа на всем пути: , поскольку , то . А так как работа не зависит от пути, то и, значит, .

К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положением частицы и не равна нулю на замкнутом пути.

Центральные силы.

Всякое силовое поле вызвано действием определенного тела или системы тел. Сила, действующая на частицу в этом поле обусловлена взаимодействием этой частицы с телами.

Если силы зависят только от расстояния между взаимодействующими частицами и направлены вдоль прямой их соединяющей, то они называются центральными. Их примером являются гравитационные, кулоновские и упругие силы. Центральные силы можно записать как

, здесь является функцией только расстояния , - орт, задающий направление радиуса - вектора частицы относительно частицы О.

Докажем, что центральные силы являются консервативными. Найдем сначала работу центральной силы в случае, когда силовое поле создано одной неподвижной частицей О. Элементарная работа над частицей М равна:

; поскольку - проекция вектора перемещения на вектор или на радиус-вектор . Другими словами, - приращение радиуса-вектора . Тогда вся работа . Этот интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от вида функции и от пределов интегрирования и т.е. от расстояний.

Если на частицу в силовом поле действует несколько центральных сил, то работа при перемещении из т.1 в т. 2 равна алгебраической сумме работ отдельных сил , а, т.к., работа каждой из них не зависит от пути, то и работа результирующей силы также от пути не зависит.

Таким образом, центральные силы являются консервативными.

 

Кинематика.

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого , а направление совпадает с осью вращения и определяется правилом правого винта: Направление должно быть таким, чтобы глядя вдоль него, мы видели поворот совершающийся по часовой стрелке, рис.

При поворотах на очень малые углы, путь проходимый точкой можно считать прямолинейным, поэтому два последовательных малых поворота и (вокруг разных осей; в данном случае оси перпендикулярны) обуславливают, как видно из рис., такое же перемещение, любой точки тела, как и поворот получаемый из и сложением по правилу параллелограмма. Значит, очень малые повороты можно рассматривать как векторы. Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела, следовательно не является истинным вектором, а является псевдовектором.

Для истинных векторов типа вопрос об их направлении не возникает, он решается естественным образом, из природы самих физических величин. Векторы типа , направление которых определяется направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами.

Векторная величина называется угловой скоростью тела, она направлена вдоль оси вращения, в сторону, определяемую правилом правого винта, также псевдовектор, модуль угловой скорости равен . Если , то наблюдается равномерное вращение , для равномерного движения есть угол поворота в единицу времени. Для такого движения можно ввести период вращения и частоту: число оборотов за 1 с. , а .

Понятия и можно сохранить и для неравномерного вращения, понимая под ними их мгновенные значения.

Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения вокруг оси (по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (по направлению). Если за угловая скорость получает приращение , то изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением:

— тоже псевдовектор.

Если ось вращения не изменяет своего положения в пространстве, то векторы , и коллинеарны.

Точки вращающегося тела имеют разные линейные скорости, которые определяются угловой скоростью и радиусами точек . Если за время тело повернулось на угол , то дуга окружности при этом . Линейная скорость точки: ; т.е., связь между модулями скоростей .