Интегралы движения и их значения.

1. Состояние механической системы с S – степенями свободы, характеризуется 2S – параметрами – это координаты и проекции скоростей. Числом степеней свободы S называется число независимых параметров определяющих состояние системы, для свободной материальной точки – это .

2. Весьма важными характеристиками любой системы является инварианты – сохраняющиеся величины (inv).

Оказывается для решения второй задачи динамики часто достаточно отыскать такие инвариантные величины, которые получили название интегралов движения. В, общем, виде они получаются: так

Из кинематических уравнений:

выражаем постоянные

Получается система интегралов движения. Очевидно, что независимых уравнений (интегралов) из шести остаётся пять.

3. Пример:

Преобразуем к виду

- первый интеграл движения (сохраняется величина).

Такое выделение резко упрощает решение задач.

Интегралов движения много, но только некоторые полезны (связанные со свойствами пространства и времени, обладающие свойством аддитивности: импульс, энергия, момент импульса).

Понятие связи.

1. Разнообразных материальных связей (взаимодействий) м/у телами очень много. Одни действия на тело м. описать силами, другие – трудно, а в теории - невозможно

Связи – объективные условия (действия), ограничивающие движение тела (на языке моделей МТ).

2. Классификация связей.

а) Удерживающая ;

б) Неудерживающая ;

в) Стационарная связь нет t (времени) – стационарная удерживающая связь;

г) Нестационарная ;

д) Неголономная связь - от скорости зависит;

е) Голономная связь - от скорости зависит;

- неудерживающая, нестационарная, неголономная связь.

Наложение связи уменьшает число степеней свободы материальной точки на единицу, так как само уравнение связи устанавливает некую взаимосвязь (x,y,z), оставляет независимыми только две координаты.

Если на материальную точку накладывается две связи заданные в виде уравнений поверхностей

, , то материальная точка имеет одну степень свободы, её движение осуществляется по кривой линии.

Различают идеальные и неидеальные связи по принципу – работа идеальных связей равна нулю.

Связь накладывает ограничения и на скорость материальной точки.

эта формула показывает, что - вектор не может быть любым хотя бы по направлению.

Заданные силы и силы реакции.

1. По своей природе связь – всегда материальное действие, т.е. в принципе, в простых случаях связь м. заменить действием и его описать силой. Эта процедура называется принципом освобождения от связей. Если принцип применим, то уравнение движения несвободной МТ имеет вид:

- заданные силы; - реакция связей.

3. Для шероховатой неподвижной поверхности (часто так) - реакция связей: (где - закон Кулона).

4. Свойства силы .

а) необычные силы как , у них есть свои св-ва.

б) зависят от

в) при отсутствии , не могут сообщить точке ускорения, т.е. они силы пассивные. В большинстве случаев самостоятельно не проявляющиеся.

ДУ движения (не свободной материальной точки).

1. Их получают из основного уравнения:

; в зависимости от системы отсчёта получают разные системы уравнений; они сильно зависят от характера связи.

2. В декартовой системе отсчёта:

,

При естественном способе задания задается система отсчета «естественный трехгранник»:

Решается сложно, т.к. не расшифровали F_τ, F_N, F_b

Основное уравнение относительного движения материальной точки в НИСО.

Принцип относительности.

1. В кинематике материальной точки нет принципиального различия между инерциальными и неинерциальными системами отсчёта.

Различие систем отсчёта выражается лишь в формальной сложности уравнений, что не принципиально.

1. В динамике различия между системами отсчёта может быть принципиальным, в частности не во всех системах отсчёта выполняется великий закон , не инвариантен при переходе из одной системы отсчёта в другую систему отсчёта, в частности мы доказали, что не инвариантно оказывается ускорение в разных системах отсчёта.

3. Оказывается, существуют такие системы отсчёта, в которых инвариантно, они динамически эквивалентны, неразличимы.

Такие системы отсчёта называют инерциальными, они друг относительно друга двигаются прямолинейно и равномерно. Для них .

4. Переход из одной ИСО в другую управляется преобразованием Галилея, для простого случая:

 

 

Классический принцип относительности выражается в инвариантности законов Ньютона, относительно преобразований Галилея.

Силы инерции.

1. В случае НИСО, появляются ускорения, к-е нельзя объяснить действием матер. тел – это св-во системы. Ускорения, обусловленные самой системой отсчета сводятся к а_пер и а_кар. Вот и получаем Þ по закону сложения ускорений при сложении движений материальной точки.

2. Выражениям скобкам может быть приписан смысл силы, их стали называть силами инерции.

,

Для общего случая при наличии связи имеем уравнение

- Основное уравнение динамики МТ в НИСО

3. Для случая покоя материальной точки в такой системе отсчёта получаем

Основное уравнение МТ в НИСО

Получаем уравнение:

2. Если связей нет, то r=0 и уравнение будет:

2. Если система отсчёта равномерно вращается (наша Земля), а МТ без связи, но движется, то:

, при отсутствии связей свободное падение.

Угловое ускорение:

Принцип эквивалентности.

1. Принцип эквивалентности яв-ся обобщением опыта изучения и описания движений тел в разных СО. Он утверждает, что m_r =km_r

Локальное гравитационное поле равнозначно существованию НИСО, специально выбранных.

Если локально-гравитационное поле эквивалентно поступательно и ускоренно движущейся СО, то тогда Ур-е движения МТ с одной стороны – в ИСО в гравитационном поле, с другой стороны – в НИСО без гравитационного поля должны иметь одинаковый вид.

а) В ИСО при наличии поля имеем:

Гравитационная сила

б) В НИСО поля нет (СО движется прямолинейно, равноускоренно, то МТ в СО покоится, но на нее действуют силы)

Его легко м. подобрать, чтобы было: =

Вывод: подбором НИСО м. создать ситуацию (локальную), когда ур-е движения МТ будет равносильно Ур-ю движения МТ в ИСО в гравитационном поле.