Свободные колебания системы с одной степенью свободы.

Рассм. случай одномерного дв-я (1 ст. свободы-> 1обобщённая коор.). Причём изм. q-мало. Если рассм. движение СМТ со стацион. потенциальными силами и стацион. идеальными связями, то для такой сист. вып-ся. з-н. сохр. полной мех. энергии.

одномерное финитное движение- колебательное т.к. .

задача: найти з-н движения

Способ: Ур-е Лагранжа

гешение:

, но для малых колебаний - этот коэф. описвает инертные свойства системы, это может быть I, тогда

но дело обстоит сложнее

уравнения равновесия, в случае потен. сил.(условие экстремума U).

уравнение min U-устойчивое равновесие.

Пусть точка полож. равновесия системы. Тогда выведение системы из полож. равновесия, х-мало.

нормируем U: ,тогда учтя, что получаем

Подставляем в или -это квазиупругая сила.(при малых х).

 

подставляем T и U в функцию .

 

подставляем L в Ур-е Лагранжа. ; ; ; ; т.е. получаем Ур-е дв-я в диф. форме

решаем Ур-е

 

общее Ур-е системы имеет вид или

10. с1 и с2 –выберем сами, тогда ,

здесь А-амплитуд. &-угол, с к-го начин-ся движ., -цикл-я частота. Итак ,т.к. есть sin- то Ур-я –гармонические

Затухания при свободных колебаниях.

1. Построим с опорой на уравнение свободных колебаний уравнение затухающих колебаний. Эта модель точнее описывает реальные колебания, так как они всегда затухающие. Затухание связано с существованием действий на колебательную систему; их интегрально описывают силой трения. Её считают:

(для одномерных движений).

 

2. – уравнение затухающих колебаний.

Решение будет:

 

3. Конкретизируем общее решение.

Сначала рассмотрим случай, при котором

Введём обозначение

Получаем решение:

Выберем нужное для нас вещественное решение:

, где

4. Получаем для случая

колебательное движение, но с переменной амплитудой и частотой w', меньшей w₀, так как .

Амплитуда убывает до нуля.

Для характеристики затухания вводят логарифмический декремент затухания:

Затухание определяется характером силы трения, то есть b.

5. В случае имеем общее решение в виде , которое с учётом показателя a₁ и a₂ – вещественные, что сразу позволяет сделать вывод о последовательном росте x при увеличении времени, то есть x не меняет знак и такое решение не соответствует колебаниям, в этих условиях движение апериодическое.

Вынужденной колебания. Резонанс.

§3. Вынужденные колебания.

1. Распространены в природе. Колебания происходят при условии действия внешней силы. В этом случае дифференциальное уравнение приобретает вид:

 

Наиболее простым (но и интересным) случаем является случай периодического изменения силы, например по закону F=F₀cos(wt). Тогда получаем:

Найдём решение этого уравнения. Оно состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного (этого уравнения). Общее решение нам известно:

Частное решение ищем в виде для удобства; потом из полученного выражения возьмём вещественную часть, хотя частное решение мы должны искать в виде:

Подставляем решение в уравнение и получаем:

Нам надо при поиске частного решения, вид которого мы задали определить B.

Для случая нашей периодической силы , которую мы заменили в силу :

 

Для упрощения нахождения коэффициента B и в целом частного решения представляют B в виде

Получаем частное решение в виде:

Его вещественная часть будет:

В итоге решение получаем в виде:

+

При значительном времени наблюдения первое слагаемое (затухающее колебание) превращается в ноль (резко уменьшается). И для случая вынужденных колебаний получается решение в вид , где b=b(w) – амплитуда зависит от частоты.

Задача: интересным для нас является определение максимальной амплитуды, условие резонанса.

Это возможно при условии минимум, то есть .

В итоге получаем:

При малых γ частота внешней силы совпадает с частотой колебательной системы:

При установившихся колебаниях в случае резонанса энергия, поступающая извне идёт на компенсацию работы сил трения.

Ясно, что ω_р зависит от γ – при разных затуханиях – резонанс разный.