Т. Об изменении импульса МТ.

Дв-е МТ м.б. описано на другом языке, нежели диф. ур-я движения. Это описание эквивалентно прежнему, но оно удобнее и проще.

Теорема формируется из основного уравнения динамики.

, . .

Дифференциал количества движения или импульса, равен элементарному импульсу силы.

В интегральном виде теорема имеет вид:

В проекциях имеем:

 

Выводы:

а) Теорема эквивалентна основному уравнению;

б) Теорема даёт представление о материальном передатчике силы – передаче импульса от одного тела к другому;

в) Теорема может быть использована в релятивистской области, таким образом, её содержание глубже второго закона Ньютона:

З-н сохранения импульса.

При определ условиях из теоремы получается закон. Это условие таково: =0(рез-я сила =0), т.е. т.е. =const. => =const. - первые интегралы движения. В общем случае (для любой СО и силы) имеем . Тогда з-н получается при условии , это условие сложнее, реализуется реже, выполняется т-ко дщля проекции на 1 или 2 оси, т.е. , тогда =с1- имеем з-н сохранения.

Т. Об изменении момента импульса.

1. Определение момента силы. , - радиус вектор, а значит, момент силы определяется относительно начала координат. Надо уметь определять проекции ; .

2. Определим момент силы относительно оси, как проекции этого вектора на эту ось (), т.е. скал-я вел-на, при чем сам взят относительно точки на этой оси. Величина проекции не зависит от выбора точки на этой оси. Док-во: Выберем другую точку на оси:

. Учтём

и коллинеарные вектора Þ смешанное произведение равно нулю. - момент импульса. ,Проекции определяются и т.д.

 

 

3. Определение момента импульса.

- момент импульса. Для определения его ч-з кинематические Ур-я движения выполним проектирование.

Проекции определяются и т.д.

4.Т. об изменении момента импульса.

| - умножим слева векторно на r.

 

Докажем, что , =0. Или получаем: , или

 

Производная по времени от вектора момента импульса равна по величине и направлена по моменту силы. Теорема легко обобщается на случай разных сил, в т. ч. и сил инерции

В проекциях получаем: , и т.д.

З -н сохранения момента импульса.

1. Закон сохранения: если , то или

- ещё три интеграла движения.

В случае ИСО такое условие вып-ся легко- равенство 0 заданной силы и сил реакции связи. Важным является случай центральных сил- сила сонаправлена радиусу.

2. В НИСО в общ случае ЗСМИ не выполняется (т.к. всегда есть силы инерции). Но в нек-х случ проекция моментов сил на ось=0. отсюда сохранение одной из проекций момента импульса.

3. из 6 независимых интегралов дв-я всего 5 независимы. Док-во:

ЕСЛИ взять скалярное произв-е = т.е.

независимых только пять из шести векторов. Только для свободной материальной точки имеем шесть независимых интегралов движения. Только для свободной МТ два з-на созранения независимы.

Работа силы.

а) Определение. Для постоянной силы работа определяется , скалярное произведение векторов.

Работа физическая величина, единица измерения [Дж], прямого измерения нет, характеризует действие на перемещении.

б) Для элементарной работы существует определение: , где - элементарный вектор перемещения.

Оказывается в общем случае правая часть, а значит и элементарная работа не является полным дифференциалом какой-либо функции.

в) В интегральном виде для работы получаем

При преобразовании подынтегрального выражения пределы интегрирования может быть и по времени от до , так задачи решают, рассчитывая работу.

Потенциальные силы.

а) Определение. Потенциальной силой называют силу, которая удовлетворяет условию (u-СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ.)и которая не зависит от скорости и

б) доказательство потенциальности силы может быть разное, в частности опирается на правило

, если . , а, значит, проекции ротора на оси равны нулю, т.е. или ; и на другие оси подобные условия.

в) Стационарное поле.

Сила зависит от времени. СТАЦИОН-Я СИЛА-сила, к-я не зависит от времени.

, а , тогда для работы имеем

элементарная работа для такой является дифференциалом функции .

При интегрировании получаем:

Т.е. работа не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положением.

, проинтегрируем: ,

Видно, сто потенциальная энергия в точке зависит от выбора точки отсчёта, от выбора нулевой потенциальной энергии (нормировано), нет однозначности в определении U. Изменяемая лишь разность потенциальных энергий, т.е. работа.

г) При определении потенциальности силы удобно использовать

если производная силы опред-ся так, то сила потенциальна. Квазиупругая сила: .В общем случае имеем три подобных уравнения.

Нестационарная сила- большой класс сил, к-е зависят от времени.

, а

В случае такой силы, у нас работу уже не выражается через разность потенциальной энергии; её расчёт более сложен.