I. Физические основы механики

А.Е. Бурученко

Ф И З И К А

Часть 1

 

Красноярск, 2003

 

УДК 531/534+536

ББК 22.3

Б 91

 

Рецензенты: А.В. Машуков, канд. физ.-мат. наук, зав.кафедрой физики КГАЦМиЗ, Н.Ф. Шемяков, канд. физ.-мат. наук, доц. КГТУ.

 

Бурученко А.Е.

Б 91. ISBN 5-89628-098-Х

 

Физика: Учеб. пособие. Ч. 1 / КрасГАСА. Красноярск, 2003.

 

 

В предлагаемой работе в соответствии с программой общего курса физики для технических вузов излагаются основы механики, молекулярной физики и термодинамики. Особое внимание уделено раскрытию смысла основных физических закономерностей. Подробно рассмотрены вопросы кинематики и динамики поступательного, вращательного и колебательного движений. Учебное пособие может быть использовано студентами дневной и заочной форм обучения.

 

УДК 531/534+536

ББК 22.3 © КрасГАСА, 2003 г.

ISBN 5-89628-098-Х © А.Е. Бурученко, 2003 г.

 

ВВЕДЕНИЕ

Слово "физика" греческого происхождения и первоначально озна­чало науку о природе или естествознание. Теперь физика является лишь одной из наук о природе. Она изучает простейшие и вместе с тем наиболее общие свойства движущейся материи.

По современным представлениям материя существует в двух основных формах: в форме вещества и в форме поля. Под веществом мы понимаем элементарные частицы, атомы, молекулы и все тела, состоящие из атомов и молекул. В физике известны такие поля, как гравитационное, электромагнитное (свет, радиоволны) и ядерное. Эти две формы материи не изолированы друг от друга, они могут превращаться друг в друга. Например, гамма-квант при определенных условиях превращается в пару частиц: электрон и позитрон, которые в свою очередь могут превратиться в квант электромагнитного излучения.

Материя может существовать только в движении. Движение пред­ставляет собой вечную форму бытия материи.

Соответственно многообразию явлений природы существует и мно­жество различных видов движения материи. Но среди этого множества можно выделить несколько основных форм, каждая из которых охва­тывает более или менее широкий круг явлений, родственных в опреде­ленном отношении. Это - механическая форма движения, химическая, биологическая и социальная. Физика изучает наиболее простые формы движения, которые являются и наиболее общими (механические, молекулярные и т.д.), электромагнитные, внутриатомные и ядерные явления. Другие, более высокие, формы движения изучаются другими науками, такими, как химия, биология и т.д.

Изучение физических явлений начинается с наблюдения, либо с эксперимента. Наблюдение - это изучение явления в природных условиях, в естественной обстановке. Эксперимент - изучение явления в условиях, специально созданных человеком. На основе накопленного экспериментального материала строится гипотеза - научное пред­положение о механизме явления и связи его с другими явлениями. Но гипотеза требует проверки и доказательств. Некоторые гипотезы противоречат опыту, оказываются ошибочными и отбрасываются при дальнейшем развитии науки (гипотезы эфира, флогистона и др.).

Гипотезы, которые выдерживают проверку на опыте и правильно предсказывают ряд явлений, которые ранее не были известны, входят в науку в качестве теорий. Правильная физическая теория дает качественное и количественное объяснение целой области явлений приро­ды с единой точки зрения.

Однако процесс познания не ограничивается таким кругом - от опыта к теории и от теории к опыту. Скоро появляются такие факты, объяснение которых не укладывается в рамки старых теорий, и тре­буют выдвижения новых гипотез. Примером этого является развитие наших знаний о строении вещества. Молекулярно-кинетическая теория вещества, созданная в XIX в., исходила из того, что все тела состоят из мельчайших частиц - атомов, которые находятся в непрерывном движении. Атом - значит неделимый, что в дальнейшем оказалось не так.

Новые теории не всегда отрицают старые, в большинстве случаев они включают старые теории как часть, т.е. являются более широкими и всеобъемлющими.

Развитие физики тесно связано с развитием человеческого общес­тва, потребностями практики. Известно, что технические потребности привели в свое время к развитию механики. Задача создания автономных тепловых машин вызвала бурное развитие термодинамики. В то же время физика оказывает огромное влияние на технику. Крупные физические открытия приводят к техническим переворотам. Например, открытие Фарадеем явления электромагнитной индукции создало возможность широкого практического использования электромагнитных явлений.

Связь между физикой и техникой двухсторонняя. Развитие техники даст физике более точные приборы и более мощные методы исследования. Так, развитие атомной физики позволило использовать в настоящее время атомную энергию в мирных целях. Широкое использование вычислительных машин оказалось возможным только благодаря достижениям физики твердого тела.

Основоположник русской физики и химии М.В. Ломоносов сочетал свою научную работу с требованиями практики. Его многочисленные и разнообразные исследования по природе твердых и жидких тел, оптике, атмосферному электричеству были связаны с теми или иными практическими задачами. А.С. Попов использовал открытие Максвел­ла- теорию электромагнитных процессов - для осуществления радиотелеграфии. Выдающийся ученый Н.В. Жуковский создал основы воздухоплавания. К.Э. Циолковский и И.В. Мещерский много сделали в области ракетной техники. Среди русских физиков были и теоретики, к ним относится Н.А. Умов, Л.А.Келдыш и.т.д.

Советская наука в исключительно короткие сроки добилась огромных успехов в таких решающих направлениях развития естество­знания, как освоение космоса, физика элементарных частиц, физика плазмы и др.

Во всем мире известны имена наших физиков - теоретиков Л.Д. Ландау, И.Е. Тамма и т. д. И. В. Курчатов известен своими работами в области атомной физики. С. В. Королев осуществил первый косми­ческий полет. Известны и другие физики.

Физические черты и характеристики свойственны любым явле­ниям природы, в том числе и тем, которые используются в различных отраслях техники, причем в этом случае приходится иметь дело со сложным комплексом явлений. Таким образом, физика служит естес­твенной основой технических наук. Например, механика является основой таких дисциплин, как теоретическая механика, теория упру­гости и сопротивление материалов, используемых при проектировании станков, машин, автомобилей.

Термодинамика развилась в разделы тепло - и хладотехники. Без знания вопросов электричества и магнетизма невозможно изучение таких наук, как электротехника, радиотехника, электроника, которые играют ведущую роль в развитии автоматики, телемеханики и теле­управления.

Возрастающая роль физики в современной технике получила свое выражение в появлении ряда специальных дисциплин таких, как физические основы электротехники, физические основы резания металла и др. Все глубже в технику внедряются физические методы обработки и испытания материалов, физические методы контроля производственных процессов и качества изделий и т. п

От современных инженеров требуется не только умело применять существующее оборудование, но и повсеместно развивать и совер­шенствовать технику. Такая творческая работа возможна только при хорошем знании физики. Вот почему хорошее усвоение физики необходимо инженеру.

Большую роль играет физика и в формировании научного мировоз­зрения специалиста.

Учебное пособие написано в соответствии с действующей програм­мой курса физики для инженерно - технических специальностей высших учебных заведений и предназначено для студентов дневной, вечерней и заочной форм обучения с ограниченным числом часов по физике.

Пособие состоит из двух частей. В первой части дано изложение физических основ классической механики и рассмотрены элементы специальной теории относительности. Вторая часть посвящена основам молекулярной физики и термодинамики. Сведения о размерностях физических величин и системных единиц вынесены в приложения.

 

 

КИНЕМАТИКА

1.1. Модели в механике. Система отсчета.

Траектория, длина пути, вектор перемещения

Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью является материальная точка - тело, обладающее массой, размером которого в данной задаче можно пре­небречь. Понятие материальной точки абстрактное, но его введение облегчает решение практических задач. Например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки.

Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на целые, взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы материальных точек. В механике сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек.

Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т.е. изменять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель - абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.

Любое движение твердого тела можно представить как комбина­цию по­ступательного и вращательного движений. Поступательное движение - это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружнос­тям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называ­емой осью вращения.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.

Положение материальной точки определяется по

отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета. С ним связывается система отсчета - сово­купность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положе­ние точки А в данный момент времени по

Рис. 1 отношению к этой системе характеризуется тремя координатами х, у и z или радиусом-вектором , проведенным из начала системы координат в данную точку (рис.1) При движении материаль­ной точки ее координаты с течением времени изменя­ются.

В общем случае ее движение определяется скалярными уравнениями:

х = x(t),

y = y(t), (1.1)

z = z(t),

эквивалентными векторному уравнению

(1.2)

Уравнении (1.1), (1.2) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Если материальная точка свободно движется в пространстве, то, как уже было сказано, она обладает тремя степенями свободы (координаты х, у, z); если она движется по некоторой поверхности, то - двумя степенями свободы; если вдоль некоторой линии, то - одной.

Исключая t в уравнениях (1.1) и (1.2), получим уравнение траек­тории движения материальной точки. Траектория движения материальной точки - линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямо­линейным или криволинейным.

Рис. 2

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис.2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка нахо­дилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного ма­териальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути Δs и является скалярной функцией времени: .

Вектор ,проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением.

При прямолинейном движении вектор пе­ремещения совпадает с соответствующим участком траектории, и модуль перемещения равен пройден­ному пути s.

Скорость

 

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина - скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени. Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор (рис.3). В течение малого промежутка времени Δt точка пройдет путь ΔS получит элементарное (бесконечно малое) переме­щение .

Вектором средней скорости называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt:

. (1.3).

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением . При неограниченном уменьшении Δt средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной ско­ростью :

.

Рис. 3

Мгновенная скорость , таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени.

Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то век­тор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис.3). По мере уменьшения Δt путь Δs все больше будет приближаться к , поэтому

модуль мгновенной скорости

.

Таким образом, модуль мгно­венной скорости равен пер­вой производной пути по времени:

. (1.4)

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной < >- средней скоростью неравномерного движения:

.

Из рис.3 вытекает, что < > > , так как s> и только в случае прямолинейного движения .

Если выражение ds = dt (1.4) проинтегрировать по времени в пре­делах от t до t + Δ t, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Δ t:

(1.5)

В случае равномерного движения числовое зна­чение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (1.5) примет вид

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движе­ние материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо про­порционально равнодействующей приложенных сил:

a~F (m=const). (2.1)

 

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорение оказывается различным, а именно:

a~ (F=const). (2.2)

Используя выражения (2.1) и (2.2) и учитывая, что сила и ускорение -величины векторные, можем записать

(2.3)

Соотношение (2.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорцио­нально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и об­ратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда

или

. (2.4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической ме­ханике есть величина постоянная, в выражении (2.4) ее можно ввести под знак производной:

. (2.5)

Векторная величина

, (2.6)
численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Подставляя (2.6) в (2.5), получим

. (2.7)

Это выражение – более общая формулировка второ­го закона Ньютона: скорость изменения импульса материаль­ной точки равна действующей на нее силе. Выражение (2.7) называется уравнением движения материальной точки.

Единица силы в СИ – ньютон (Н): 1 Н - сила, которая массе в 1кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы:

1 Н = .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных систе­мах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Дей­ствительно, в случае равенства нулю равнодействующей сил (при от­сутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (2.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматрива­ется как самостоятельный закон (а не как следствие второго закона), т. к. именно он утверждает существование инерциальных систем от­счета, в которых только и выполняется уравнение (2.7).

В механике большое значение имеет принцип независи­мости действия сил: если на материальную точку дейст­вует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает ма­териальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.

Например, на рис.10 действующая сила разложена на два компонента: тангенциальную силу (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения и , а также =Rw, можно записать:

Если на материальную точку действу­ет одновременно несколько сил, то, со­гласно принципу независимости дейст­вия сил, под F во втором законе Нью­тона понимают результирующую силу.

 

 

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) опреде­ляется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

(2.8)

где - сила, действующая на первую материальную точку со сторо­ны второй; - сила, действующая на вторую материальную точку со
стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам
(телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

При использовании законов динамики иногда допускают следую­щую ошибку: т. к. действующая сила всегда вызывает равную по мо­дулю и противоположную по направлению силу противодействия, то, следовательно, их равнодействующая должна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Однако надо помнить, что во втором законе Ньютона речь идет об ускорении, приобретаемом телом под действием приложенных к нему сил. Равенство нулю ускорения означает равенство нулю равнодействующей сил, приложенных к одно­му и тому же телу. Третий же закон Ньютона говорит о равенстве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух взаимодейству­ющих тел действует только одна сила, которая и сообщает данному те­лу ускорение.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динами­ки отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек.

Это следует из того, что для системы материальных точек взаимо­действие сводится к силам парного взаимодействия между материаль­ными точками.

 

Силы трения

Обсуждая до сих пор силы, мы не интересовались их происхожде­нием. Однако в механике мы будем рассматривать различные силы: трения, упругости, тяготения.

Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонталь­ной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существованием силы трения, которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы трения зависят от относительных скоростей тел. Силы трения могут быть разной природы, но в результате их действия механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении.

Обсудим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей; в случае же очень гладких поверхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.

Рассмотрим лежащее на поверхности тело (рис. 11), к которому приложена горизонтальная сила F.

Рис. 11

Тело придет в движение лишь тогда, когда приложенная сила F будет больше силы трения Fтр. Опытным пу­тем установлен следующий закон:

сила трения скольжения F пропор­циональна силе N нормального дав­ления, с которой одно тело действует на другое:

,

где f - коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств со­прикасающихся поверхностей.

 

Закон сохранения импульса.

Центр масс

 

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической сис­темы называются внутренними. Силы, с которыми на мате­риальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой или изолированн­ой. Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие меж­ду этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. гео­метрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны и , ,…, . Пусть - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а - равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

…………………..

Складывая почленно эти уравнения, получим

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

или

(2.9)

где - импульс системы.

Таким образом, производная по времени от импульса механичес­кой системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

т.е.

Это выражение и является законом сохранения им­пульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменя­ется с течением времени.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона.

Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкну­тых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механи­ки). Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства - его однородности. Однород­ность пространства заключается в том, что при параллель­ном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее фи­зические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной сис­темы отсчета.

Отметим, что, согласно (2.9), импульс сохраняется и для незам­кнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

В механике Галилея - Ньютона из-за независимости массы от ско­рости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Центром масс или центром инерции системы мате­риальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус - вектор равен

где m_i и - соответственно масса и радиус-вектор i -и материальной точки; n - число материальных точек в системе; - масса системы.

Скорость центра масс

Учитывая, что , a есть импульс системы, можно
написать

(2.10)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (2.10) в уравнение (2.9), получим

(2.11)

т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, рав­ная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (2.11) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (2.10) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Энергия, работа, мощность

Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаи­модействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнит­ную, ядерную и др.

В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других - переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отдан­ная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, дей­ствующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно ха­рактеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , которая составляет некоторый угол a с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы на направление перемещения умноженной на перемещение точки приложения силы:

. (3.1)

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (3.1) пользоваться нельзя. Если, одна­ко, рассмотреть элементарное перемещение , то силу можно счи­тать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элементарной работой силы на перемещение назы­вается скалярная величина

где a - угол между векторами и ; - элементарный путь; F_s - проекция вектора на вектор (рис.12).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

(3.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F от пути s вдоль траектории 1-2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис.13), тогда искомая работа А определяется на графике площадью закрашенной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const, a=const, то получим

где s - пройденный телом путь (см. также формулу (3.1)).

Из формулы (3.1) следует, что при < работа силы положи­тельна, в этом случае составляющая F_s совпадает по направлению с вектором скорости движения v (рис.12).

Если > , то работа силы отрицательна. При = (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н-м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят по­нятие мощности:

(3.3)

За время dt сила совершает работу , и мощность, развиваемая
этой силой, в данный момент времени

,

т.е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина ска­лярная.

Единица мощности – ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

 

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии - результат обобщения многих экспери­ментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В.Ломоносову (1711 - 1765 гг.), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана не­мецким врачом Ю. Майером (1814 -1878 гг.) и немецким естествоиспы­тателем Г. Гельмгольцем (1821 - 1894 гг.).

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂, …, m_n, движущихся со скоростями . Пусть – равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а – равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим . При
u<<c массы материальных точек постоянны, и уравнения второго закона

Ньютона для этих точек следующие:

……………………..

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные . Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее переме­щение и, учитывая, что , получим:

…………………………………

Сложив эти уравнения, получим

(3.11)

Первый член левой части равенства (3.11)

где dT есть приращение кинетической энергии системы. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (3.5).

Правая часть равенства (3.11) задает работу внешних неконсерва­тивных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем

d(T+П)=dA. (3.12)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

,