Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (5.6):

. (5.12)

Колебания гармонического осциллятора являются важным приме­ром периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физи­ческий и математический маятники.

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колеба­ния под действием упругой силы F=-kx, где k -коэффициент упругос­ти, в случае пружины называемый жесткостью. Уравнение движения маятника

или

.

Из выражений (5.12) и (5.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с цик­лической частотой

(5.13)

и периодом

. (5.14)

Формула (5.14) справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (5.10) и (5.13), равна

.

Рис. 28

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под дейст­вием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под­веса, не проходящей через центр масс С тела (рис. 28). Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела

(4.5) момент М вращающей силы можно запи­сать в виде

, (5.15)

где J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О, – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятни­ка, - возвращающая сила (знак минус обу­словлен тем, что направление и a всегда противоположны; sina»a соответствует малым отклонениям маятника из положения равновесия).

Уравнение (5.15) можно записать в виде

или

.

Принимая

, (5.16)

получим уравнение , идентичное (5.12), решение которого (5.1) известно:

. (5.17)

Из выражения (5.17) следует, что при малых колебаниях физи­ческий маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w₀ (см. (5.18)) и периодом

, (5.18)

где – приведенная длина физического маятника.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Момент инерции математического маятника

, (5.19)

где - длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредо­точена в одной точке – центре его масс, то, подставив выражение (5.19) в формулу (5.18), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

. (5.20)

Сравнивая формулы (5.18) и (5.20), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине математического маят­ника, то их периоды колебания одинаковы. Следовательно, приве­денная длина математического маятника – это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.