Работа 3. Определение ускорения свободного падения при помощи универсального маятника

Цель работы - определить ускорение свободного падения при помощи универсального маятника.

Теоретические основы лабораторной работы

 

Измерения ускорения свободного падения выполняются с помощью косвенных методов. Многие из них основаны на использовании формул для периода колебаний математического и физического маятников.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити и совершающая колебание в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Период колебаний математического маятника

, (3.1)

где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения.

Отсюда ускорение свободного падения определяется по формуле

(3.2)

 

Ускорение g можно вычислить, измерив Т и l. Погрешность определения g в этом случае связана с тем, что реальный маятник, используемый в лабораторных условиях, может только с некоторым приближением рассматриваться как математический. Чем больше l, тем точнее косвенное измерение ускорения свободного падения с использованием этой методики.

Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.

Период колебаний физического маятника

, (3.3)

где J - момент инерции маятника относительно оси качаний (точки подвеса); m - его масса; l - расстояние от центра масс до оси качаний.

Величину L = J/ (ml) называют приведенной длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Зная T, m, l и J можно по формуле (3.3) найти ускорение свободного падения g. Массу маятника и период его колебаний можно измерить с очень высокой точностью, но точно измерить момент инерции не удается. Указанного недостатка лишен метод оборотного маятника, который позволяет исключить момент инерции из расчетной формулы для g.

Метод оборотного маятника основан на том, что во всяком физическом маятнике можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника за одну или другую, период колебаний его остается одним и тем же.

Расстояние между этими точками представляет собой приведенную длину данного маятника.

Оборотный маятник (рис. 3.1) состоит обычно из металлического стержня А, по которому могут передвигаться и закрепляться в том или ином положении грузы В ₁ и В ₂ и опорные призмы С ₁ и С ₂. Центр масс маятника - точка О. Период колебаний маятника можно менять, перемещая грузы или опорные призмы. Маятник подвешивают вначале на призме С ₁ и измеряют период его колебаний Т ₁. Затем маятник подвешивают на призме С ₂ и измеряют период колебаний Т ₂.

Допустим, что нам удалось найти такое положение грузов, при котором периоды колебаний маятников Т ₁ и Т ₂ на призме С ₁ и С ₂ совпадают, т.е.

. (3.4)

Отсюда следует, что

, (3.5)

По теореме Штейнера

(3.6)

где J ₀ - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс и параллельной оси качаний.

С учетом формул (3.5) и (3.6) можно записать

Следовательно

=

Период колебаний физического маятника

(3.7)

Ускорение свободного падения

(8)

Формула (3.7) аналогична формуле (1) для математического маятника. Следовательно, L = l ₁ + l ₂ - приведенная длина физического маятника, которая, как видно из рис.1, равна расстоянию между призмами С ₁ и С ₂, в момент измерений когда Т ₁ = Т ₂. Это расстояние легко может быть измерено с большой точностью.

Чтобы пояснить процедуру достижения равенства периодов Т ₁ и Т ₂, исследуем, как зависит период колебаний от расстояния l между центром масс и осью качаний маятника. Согласно формулам (3) и (6), имеем

(3.9)

Для определения минимума функции Т = f(l) (формула 3.9) необходимо приравнять нулю её первую производную. Период колебаний будет минимален т. е. Т = Т _min при l _min = (рис. 3.2). При Т > Т _min одно и то же значение Т достигается при двух разных значениях l; одно из них больше, а другое меньше l _min. Эти значения l ₁ и l ₂ и входят в формулу для приведенной длины маятника L.

Вначале измеряется период колебаний маятника Т ₁ относительно призмы С ₁. Затем маятник переворачивается и измеряется период колебаний Т ₂ относительно призмы С ₂. Если при этом получится , то этому будет соответствовать . И для того, чтобы приблизить и Т ₁, надо увеличить . Для этого надо призму С ₂ передвинуть от середины стержня к краю. Если получится < Т ₁, то призму С ₂ надо будет передвинуть к середине стержня.

Анализ точности измерения g методом оборотного маятника показывает, что погрешность измерения слабо зависит от точности, с которой выполняется равенство Т ₁ = Т ₂. Достаточно добиться того, чтобы периоды оказались равны друг другу с точностью 0,5 %.

Кроме того, для получения достаточной точности измерения отношение l ₁/ l ₂ не должно быть слишком малым или слишком большим. Достаточно выполнить изменения в пределах 1,5 < l ₁/ l ₂ < 3.

 

Описание установки

 

В основании 1 универсального маятника закреплена колонка 7, на которой зафиксирован верхний кронштейн 4 и нижний кронштейн 9 с фотоэлектрическим датчиком 10 (рис.3.3). Отвинчивая винт 5, верхний кронштейн можно поворачивать вокруг колонки. С одной стороны кронштейна 4 находится математический маятник 2, с другой - на вмонтированных вкладышах оборотный маятник 8.

Длину математического маятника можно регулировать при помощи винта 3 и определять при помощи шкалы на колонке.

Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором крепятся две призмы (ножа) С ₁ и С ₂ и два диска 6. На стержень через 10 мм нанесены кольцевые нарезки, служащие для точного определения длины оборотного маятника (рас­стояние между призмами). Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки. Фотоэлектрический датчик соединен с встроенным в основание универсальным электронным секундомером 11, который измеряет число колебаний n и общее время этих колебаний t. Период колебаний T = t / n.

Порядок выполнения работы

I. М атематический маятник.

1. Поместить математический маятник (2) между нижним кронштейном (9) и датчиком (10), повернув соответствующим образом верхний кронштейн. При этом черта на шарике маятника визуально должна быть продолжением черты на фотодатчике (оптическая ось датчика проходит через шарик).

2. Отклонить маятник на угол 5° (примерно) и придержать шарик рукой.

3. Привести маятник в движение, отпустив шарик.

4. Измерить время 10 колебаний (n=10).

5. Повторить пп.1-4 еще десять раз.

6. По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину маятника.

7. Результаты опыта записать в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

Физ. величина	t	Ti	gi
Ед. измерения Номер опыта
…
n

II. Оборотный маятник

 

Измерение ускорения свободного падения g с помощью оборотного маятника сводится к измерению периодов колебаний Т ₁ и Т ₂ соответственно на призмах С ₁ и С ₂ (рис. 3), их сравнительной оценке, последующего подбора такого положения призм, при котором достигается равенство периодов, измерению расстояния L = l ₁ + l ₂ между призмами (рис. 3.1) и вычислению ускорения свободного падения.

1. Поместить оборотный маятник (8) между нижним кронштейном (9) и датчиком (10), повернув верхний кронштейн на 180°.

2. Зафиксировать диски на стержне так, чтобы один из них находился вблизи конца стержня, а другой вблизи его середины.

3. Закрепить маятник на верхнем кронштейне на призме, находящейся вблизи конца стержня (рис. 3), так чтобы другой конец стержня проходил через оптическую ось счётного устройства.

4. Отклонить маятник примерно на 5° от положения равновесия и придержать его рукой.

5. Привести маятник в движение, отпустив его.

6. Измерить время t десяти колебаний маятника.

7. Определить период колебаний оборотного маятника T ₁ по формуле: T ₁ = t / n.

8. Снять маятник и закрепить его на второй призме.

9. Измерить период Т ₂, повторив пп.4-7.

10. Сравнить периоды Т ₂ и T ₁ (вместо периодов можно сравнивать времена). Если Т ₂ > T ₁, вторую призму переместить в направлении диска, находящегося в конце стержня. Если Т ₂ < T ₁, переместить призму в направлении середины стержня (положение дисков и первой призмы при этом не менять).

11. Измерить снова период Т ₂.

12. Сравнить периоды T ₁ и Т ₂.

13. Положение второй призмы изменять до тех пор, пока значение периода Т ₂ не станет равным значению периода T ₁ с точностью до 0,5 %.

14. Измерить расстояние между призмами по числу нарезок, которые нанесены через каждые 10 мм.