Изучение физического маятника и определение ускорения силы тяготения

Физическим маятником называют тело, способное осуществлять колебание вокруг недвижимой точки, которая не совпадает с его центром массы (рис.1). Отсюда вытекает, что в положении равновесия физического маятника его центр масс С находится на вертикали с точкой подвеса О, но ниже от нее. При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент М силы тяготения, плечо которой . Он старается возвратить маятник в положение равновесия. Если действием моментов сил трения пренебречь, то из основного уравнения динамики вращательного движения достанем

, (1)

где I – момент инерции тела относительно горизонтальной оси, которая проходит через точку О (ось перпендикулярная к площади рисунка), m – масса маятника; знак минус указывает на то, что момент силы тяготения старается возвратить маятник к положению равновесия, а угол отклонения отсчитывается в противоположном направлении. Для малых углов отклонения и уравнение (1) приобретает вид

, (2)

или

. (3)

Величина имеет размерность частоты в квадрате. Тогда период колебаний

. (4)

Величина имеет размерность длины, т.е.

. (5)

Величину называют приведенной длиной физического маятника. Очевидно, математический маятник будет иметь такой же период колебаний, как и физический маятник, по условиям, которые его длина равняется приведенной длине физического маятника.

Точку , которая находится на линии ОС на расстоянии l от точки подвеса О, называют точкой колебаний, или центром колебаний физического маятника. Если в этой точке подвесить физический маятник, то его период колебаний не изменится. В самом деле, если является точкой подвеса маятника, то его новая приведенная длина

,

где – момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку . За теоремой Гюйгенса - Штейнера момент инерции маятника

, а ,

где – момент инерции маятника относительно параллельной оси, которая проходит через его центр масс. Тогда

, а .

Из рис.1 видно, что

, то ; .

Из равенств приведенных длин вытекает равенство периодов колебаний относительно осей, которые проходят через сопряженные точки и . Это свойство физического маятника разрешает определить положение сопряжених точек и найти приведенную длину физического маятника исследовательским путем. Исследовательским путем можно определить период колебаний маятника и найти g. Для этого в (4) подставим (5) и найдем

. (6)

Описание установки и методики измерений.

В физическом маятнике можно сделать передвижни опорные призмы, или изменять положение отдельных его частей. Если центр качания будет при этом расположенный в пределах тела, то можно достичь такого положения, что маятник будет оборотным, т.е. выбранные его две точки опоры станут сопряженными.

Оборотные маятники изготовляют разных конструкций. В данной задаче применяют оборотный маятник, который изображен на рис.2. Он состоит из однородного стержня, на котором есть шкала и передвижные опорные призмы П и грузы Г₁ и Г₂, которые могут закрепляться в любом месте стержня.

Перед началом измерений необходимо выбрать такие условия опыта, чтобы точность измерений была наибольшей. Проведены такие оценки. Для этого перепишем (4) в виде

. (7)

Графическая зависимость периода колебаний Т от расстояния а изображена на рис.3. С цьогo графика видно, что при приближении точки подвеса к центру масс С (а₁ 0) период колебаний Т стремится к бесконечности, т.е. движение становится непериодическим. Период возрастает также при отдалении точки подвеса от центра масс маятника. При некотором определенном значении расстояния а период колебаний является минимальным (Т_min). Если период колебаний отличается от Т_min, то, как видно из рис.3, одно и тоже значение Т достигается при двух разных значениях а. Если поместить точку подвеса на расстоянии а₁ от центра тяготения, то центр качания будет находиться на расстоянии а_2. Эти значения а₁ и а₂ и необходимо найти опытным путем, чтобы вычислить g, так как в этом случае является приведенной длиной. Но тяжело достичь совпадения периодов прямого и обратного маятника. Они будут отличаться на какое-то значение . Тогда

, а ,

и, если пренебречь , то

. (8)

Если разложить это выражение в ряд по степеням и ограничиться членами первого порядка, то

.

Если периоды Т₁ и Т₂ полностью совпадают, то (8) переходит в (6). Учитывая (8) и (6), получим для относительной погрешности, обусловленной тем, что периоды Т₁ и Т₂ не совпадают:

. (9)

Из (9) видим, что погрешность неограниченно возрастает, если ,т.е., если Т Т_min. Поэтому условия опыта должны быть такими, чтобы а₁ и а₂ отличались на полную величину. Хороший результат обеспечивают измерения, если

.

Предыдущие исследования позволяют всегда расположить призмы и грузы так, чтобы выполнялось это условие. Для этого у маятника, который применяется в нашей лаборатории, следует разместить:

1) призмы П на 5-м и 85-м делениях;

2) грузГ₂ в интервале от 30-го и до 60-го деления шкалы;

3) груз Г₁на 91-м делению.

Чтобы найти приведенную длину маятника, будем изменять его момент инерции I относительно точки подвеса до тех пор пока точки, в которых закрепленны призмы П, станут сопряженными. Это состояние можно достичь определенным расположением груза. Для этого грузГ₁ следует передвигать в интервале от 91-го до 115-го деления стержня и через каждые 3 см определять период колебаний маятника. Эти определения надо повторять трижды при это необходимо наблюдать 25 полных колебаний. Полученные средние значения периодов нанесите на график в зависимости от положения груза Г_{1 .} На оси абцис отложите деления шкалы стержня маятника, а на оси ординат – величины периодов колебаний. После этого переверните маятник и придавайте ему колебания на второй опорной призме П. Снова передвигайте груз Г₁на 3см в интервале от 115-го до 91-го деления и каждый раз определяйте период колебаний маятника. Эти значения периодов нанесите на график. Точка сечения кривых определит положение груза Г_{1 ,} при котором периоды колебаний маятника Т₁ и Т₂ в прямом и перевернутом положениях наиболее близки друг к другу.

ГрузГ₁закрепите в положении, которое отвечает точке сечения кривых и определите время 100 полных колебаний не меньше трех раз в прямом положении маятника и так же определите период 100 колебаний повторенных три раза для перевернутого маятника. Если периоды Т₁ и Т₂ для прямого и обратного маятника не отличаются больше чем на 0,003, то для вычисления ускорения свободного падения g пользуются формулой (6). При расхождении Т₁ и Т₂на большую величину для расчета g пользуются формулой (8), или формулой Бесселя:

, (10)

Чтобы определить величины а₁ и а₂, надо маятник снять с консоли, осторожно положить его на подставку с острой гранью и уравновесить. Расстояние от точки маятника, который находится на грани, до опорных призм дают величины а₁ и а_2.Измерения а₁ и а₂выполняют с помощью масштабной линейки с точностью до одного миллиметра. По результатам измерений вычисляют ускорение силы тяготения и оценивают точность эксперимента.

 

Контрольные вопросы

1. Какое движение носит название колебательного?

2. Определить состояние механического равновесия. Какими являются условия пребывания механической системы в состоянии равновесия? Какое равновесие является устойчивым, а какое - неустойчивым? При каких условиях в механической системе может возникнуть колебательное движение?

3. Какие колебания назваются свободными, или собственными? От чего зависит частота собственных колебаний?

4. Какие колебания называют гармоничными? Что такое фаза гармоничных колебаний и что она характеризует? Как связанны между собой фазы, координаты, скорости и ускорение тела, которое осуществляет гармоничные колебания? От чего зависят амплитуда, частота и начальная фаза гармоничных колебаний?

5. Какую систему называют математическим маятником? Какими параметрами определяется период колебаний математического маятника. Опишите колебание математического маятника. Постройте схематические графики зависимости ускорения, скорости и координаты от времени.

6. Дайте определение физического маятника. Что называется приведенной длиной физического маятника и его центром колебаний. Какие точки маятника являются сопряженными?

7. Какие есть методы нахождения приведенной длины физического маятника? Какая связь существует между ускорением свободного падения и приведенной длиной и периодом колебаний физического маятника. Почему ускорение свободного падения в разных широтах разное?

РАБОТА №13