Вопрос 15. Физический и математический маятник

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рисунок 1.55).

Рисунок 1.55

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол α, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (1.48) момент М возвращающей силы можно записать в виде

M=Jε=Ja^²=Ft l= -mgl sina ≈ -mgla,

(1.106)

где J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, F_t= -mgsina ≈ -mga – возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_t и a всегда противоположны; sinα ≈ α соответствует малым колебаниям маятника, т. е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (1.106) можно записать в виде

Ja^²+ mgla= 0

(1.107)

или

a^²+mgla/J= 0.

(1.108)

Принимая

(1.109)

получим уравнение

a^² + ω 0^2 a =0,

(1.110)

идентичное с (1.100), решение которого (1.81) известно:

α=α0 cos(ω0 t+φ).

(1.111)

Из выражения (1.111) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω₀ (см. (1.109)) и периодом

(1.112)

где L=J/(ml) – приведенная длина физического маятника. Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рисунок 1.55). Применяя теорему Штейнера (1.44), получим

L=J/(ml)=(Jc+ml^2)/(ml)=l+Jc/(ml)>l,

(1.113)

т. е. OO' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

J=ml^2.

где / – длина маятника. Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке – центре масс, то, подставив выражение (1.114) в формулу (1.112), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

(1.115)

Сравнивая формулы (1.112) и (1.115), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Вопрос 16 Идеальный газ

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим идеальный одноатомный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку  S (рисунок 2.5) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс

m0v–(–m0v)=2m0v,

(2.21)

где m₀ – масса молекулы, v – ее скорость. За время  t площадки  S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием  S и высотой v  t (рисунок 2.5). Число этих молекул равно n  Sv  t (n – концентрация молекул).

Необходимо учитывать, что реально молекулы движутся к площадке S под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул. Половина этих молекул (т.е. 1/6 часть) движется вдоль данного направления в одну сторону, а вторая половина – в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку  S будет 1/6 n  Sv  t. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

 P = 2m0v1/6nSvt = 1/3nm0v^2St

(2.22)

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

P =  P/(tS) = 1/3nm0v^2.

(2.23)

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v₁, v₂,..., v_N, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

<vкв>= ,

(2.24)

характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (2.23) с учетом (2.24) примет вид

p = 1/3nm0<vКВ>^2.

(2.25)

Выражение (2.25) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

PVm = RT

Уравнению удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона – Менделеева.

В молекулярно-кинетической теории пользуются моделью идеального газа, согласно которой считают, что:

1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных газов в условиях, близких к нормальным (например, кислород и гелий), а также при низких давлениях и высоких температурах.