Упражнение 1. Измерение собственных частот колебаний связанных маятников.

1. Следуя инструкциям (Приложение-2), измерьте периоды синфазных и противофазных колебаний.

2. Рассчитайте собственные частоты (частоты синфазных и противофазных колебаний) и их погрешности: , .

 

Упражнение 2. Изучение колебаний маятников в режиме «биений».

1. Задайте режим колебаний, соответствующий наиболее выраженным биениям: один маятник удерживайте в положении равновесия, а второй отклоните на угол , и затем маятники одновременно отпустите.

2. После установления стабильного колебательного процесса запустите программу измерений и записывайте колебания в течение 2…3 минут. При этом на экране монитора будут отображаться графики зависимостей и , каждый из которых имеет форму биений. Графики биений маятников «сдвинуты» по времени, так что в моменты, когда амплитуда колебаний одного маятника максимальна, амплитуда другого минимальна, и наоборот. При этом происходит периодическая (с периодом ) «перекачка» энергии колебаний от одного маятника к другому. Графики сохраните в памяти компьютера.

3. Определите по графикам период биений (см. рис.1) и его погрешность. Для повышения точности используйте инструменты «Обзор» и «Лупа» (см. Приложение-2).

4. Рассчитайте частоту биений и ее погрешность, сравните полученный результат с величиной , рассчитанной по результатам измерений частот противофазных и синфазных колебаний.

5. Рассчитайте и постройте графики зависимостей от времени и (см. Приложение-3). Согласно формулам (6) и (7) в обоих случаях должны получиться гармонические колебания: колеблется с собственной частотой , а - с частотой (такие обобщенные координаты, колеблющиеся с собственными частотами, называют нормальными).

Полученные результаты сведите в таблицу:

 

Частота синфазных колебаний	Гц
Частота противофазных колебаний	Гц
Частота биений (расчет)	Гц
Частота биений (эксперимент)	Гц
Частота колебаний величины	Гц
Частота колебаний величины	Гц

 

Упражнение 3. Исследование зависимости частоты биений от положения пружины, «связывающей» маятники.

Измените расстояние (рис. 2б) в раза, и измерьте соответствующее значение частоты биений . Покажите, что в согласии с формулой (9) .

Упражнение 4 (дополнительное, выполняется по согласованию с преподавателем). Фурье-анализ биений.

В высшей математике доказывается, что любое периодическое движение может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами и амплитудами. Определение частот и амплитуд гармонических колебаний, на которые раскладывается данный периодический процесс, называют Фурье-анализом. В высшей математике выводятся формулы, при помощи которых Фурье-анализ может быть выполнен. Программное обеспечение данной лабораторной работы позволяют провести Фурье-анализ биений.

Выведите на экран график биений одного из маятников из упражнения 2 и, следуя инструкциям (Приложении-3), покажите, что биения представляют собой сумму гармонических колебаний с собственными частотами и .

Сформулируйте выводы по работе.

 

Индивидуальные задания

№ бригады	1 и 7	2 и 8	3 и 9	4 и 10	5 и 11	6 и 12
Расстояние , см

 

Подготовка к работе.

1. Физические понятия, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:

ü гармонические колебания; амплитуда, фаза, начальная фаза, период, частота, циклическая частота, дифференциальное уравнение гармонических колебаний;

ü сложение гармонических колебаний, биения;

ü математический и физический маятники, собственная частота колебаний;

ü колебания связанной системы.

2. Приведите в конспекте подробный вывод формул (5) – (7)

3. Расчетное задание.

ü По формулам (7), (8) рассчитайте зависимости и в режиме биений. Величину , выберите в соответствии с индивидуальным заданием. При расчетах примите: m= 1кг, l= 1 м, k= 3 Н/м. Постройте графики и , используя любую доступную компьютерную программу построения графиков (например, http://www.yotx.ru/default.aspx). График вклейте в конспект.

 

Примечание. Пункты 2, 3 выполните письменно при подготовке к лабораторной работе.

 

 

Литература

1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы.– М.: Лаборатория базовых знаний, 2003, §§5.4, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика– М.: Астрель×АСТ, 2005; §§5.3, 5.4, 8.1, 8.5, 8.6, 8.7, 8.9, 8.11.

3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.2,Москва.: Лань, 2004; Глава 24, 2.

 

Приложение-1

Вывод формул (5)-(9)

При малых углах отклонения маятников от вертикали (, , рис. 2б) ось пружины при колебаниях остается практически горизонтальной (рис.1-1.). В этом случае суммарный момент сил тяжести и упругости относительно оси вращения 1-го маятника равен

,

где - проекция силы на ось , - деформация пружины. Момент сил, действующих на второй маятник, относительно его оси вращения равен

,

где , . При малых углах отклонения маятников от вертикали , , поэтому

, .

Рис. 1-1. Связанные маятники

Полученные выражения для моментов сил подставим в уравнения динамики вращательного движения маятников:

, ,

где - момент инерции каждого маятника относительно оси вращения. После сокращения получим

, (П1)

где введены обозначения: , . Заметим, что величина равна собственной частоте уединенного (несвязанного) маятника, а величина зависит от параметров маятника и пружины, ее называют коэффициентом связи системы.

Складывая уравнения системы (П1), получим , где . Общее решение этого уравнения имеет вид

. (П2)

Вычитая из второго уравнения системы (П1) первое, получим , где , . Общее решение этого уравнения имеет вид

. (П3)

Из уравнений (П2), (П3) найдем

,

,

где , .

 

Приложение-2

Измерение собственных частот колебаний связанных маятников.

1. В меню «Прибор» компьютерной программы выберите «Универсальный измеритель».

2. В появившемся диалоговом окне наберите показанные на рис.2-1 установки.

3. Дважды отмечая мышкой окошки «Аналоговый дисплей» и «Диаграмма», активируйте на экране окна, изображенные на рис.2-2. Эти окна предназначены для установки максимального угла отклонения маятника от вертикали на аналоговом приборе и для выбора каналов, отображаемых на диаграмме.

Рис.2-1. Диалоговое окно «Универсальный измеритель»	Рис.2-2. Окна настройки пределов измерения угла
	Формула Лупа Обзор
Рис.2-3. Окно для отображения зависимостей в процессе измерения	Рис.2-4. Инструменты «Лупа» и «Обзор» для измерения периода колебаний

 

4. Конкретные значения параметров, устанавливаемых на рис.2-2, удобно выбрать, нажав кнопку «Далее» в окне на рис.2-1 и наблюдая отображение колебаний в появившемся на экране окне (рис.2-3). Предварительно нужно отклонить маятники на небольшие углы, отпустить их и нажать кнопку «Начать измерение» в правом нижнем углу окна на рис.2-3. Окончание процесса измерений выполняют нажатием клавиши «закончить измерение» в соответствующем окне на рис.2-3.

5. Когда маятники находятся в положении равновесия, приборы, изображенные на рис. 2-3, должны показывать нулевое напряжение - добейтесь этого с помощью ручек регулировки, расположенных на датчиках угла поворота.

6. Для измерения частот синфазных колебаний маятников отклоните их на одинаковые углы (контролируются приборами на рис. 2-3) в одну сторону от вертикали и одновременно отпустите. Измерения начинайте примерно через 30 с после начала колебаний, когда колебательный процесс установится. Запись колебаний должна происходить не менее двух-трех минут. После завершения измерений на экране отображаются графики колебаний. Выбирая входы 1 или 2, путем нажатия на кнопки U1 или U2, можно наблюдать на экране монитора графики колебаний каждого маятника в отдельности или сразу оба графика. Для одинаковых маятников и одинаковых начальных условий кривые и должны практически совпадать. Если это не так, обратитесь к инженеру или преподавателю.

7. Определите по графикам период синфазных колебаний , пользуясь для повышения точности инструментами «Обзор» и «Лупа» (рис.2-4). Оцените погрешность измерения . При необходимости проконсультируйтесь по этому вопросу с преподавателем или инженером.

8. Аналогичным образом определите период противофазных колебаний, отклоняя маятники на равные углы в противоположные стороны от положения равновесия.

9. Рассчитайте собственные частоты (частоты синфазных и противофазных колебаний) и их погрешности: , .

Приложение-3

Фурье-анализ биений

1. Выведите на экран график биений одного из маятников из упражнения 2.

2. Откройте окно «Изменение каналов», воспользовавшись инструментом «Формула» (На рис. 2-4 - ).

3. Заполните диалоговое окно так, как показано на рис.3-1.

4. Нажмите кнопку «Рассчитать», в результате на графике «биений» в 1000 раз уменьшится масштаб по оси времени (это необходимо, если учесть ожидаемые порядки собственных частот).

 

Рис.3-1. Окно для изменения масштаба по оси времени

5. Нажмите на панели инструментов кнопку f (Анализ Фурье).

6. В появившемся окне нажмите кнопку «Рассчитать».

7. Примените инструмент «Лупа» к графику на экране, «растянув» начальный участок этого графика. В результате получите зависимость как на рис.3-2.

 

Рис.9. Пример Фурье – анализа спектра биений связанных маятников

8. С помощью инструмента «Обзор» определите абциссы пиков этого графика и . Они должны совпадать с частотами синфазных и противофазных колебаний.