Колебания в системе с двумя степенями свободы

Число степеней свободы равно минимальному числу независимых переменных (обобщённых координат , ), необходимых для полного описания движения механической системы. На рис. 2 показаны колебательные системы с двумя степенями свободы. В качестве обобщенных координат и могут фигурировать различные величины, характеризующие положение системы. Например, для случая, изображенного на рис. 2а, в качестве обобщенных координат удобно использовать деформации пружин ( - деформация первой пружины, - деформация второй), а для систем на рис. 2б и 2в – углы отклонения от положения равновесия: , .

 

Рис.2. Колебательные системы с двумя степенями свободы

 

Далее ограничимся рассмотрением системы, изображенной на рис. 2б, предполагая, что маятники совершают колебания в одной плоскости, и каждый представляет собой шар массы , закрепленный на легком стержне длины , причем значительно больше радиуса шара (то есть маятники считаются математическими). Расстояние от точки крепления пружины на стержне до его оси вращения обозначим .

Основной вывод, вытекающий из теоретического анализа такой системы (см. Приложение-1) состоит в том, что она характеризуются не одной, а двумя собственными частотами

, , (5)

где g -ускорение свободного падения, k -коэффициент жесткости пружины.

При малых амплитудах колебательный процесс представляет собой сумму гармонических колебаний с этими собственными частотами:

, (6)

, (7)

Формулы (6), (7) описывают колебания маятников при произвольных начальных условиях, которым соответствуют конкретные значения величин . Рассмотрим три важных специальных случая.

1) Синфазные колебания. Если , то и формулы (6), (7) описывают синфазные колебания маятников с частотой . В этом случае длина пружины при колебании маятников не изменяется, поэтому пружина не оказывает влияния на колебательный процесс и частота синфазных колебаний совпадает с собственной частотой уединенного маятника.

2) Противофазные колебания. Если , то формулы (6), (7) описывают противофазные гармонические колебания маятников с частотой . При этом в любой момент времени углы отклонения маятников отличаются лишь знаком: . Сила упругости, возникающая при деформации пружины, одинаковым образом ускоряет возвращение каждого из маятников к положению равновесия. Поэтому соответствующая частота колебаний больше, чем .

3) Биения. При и получим

, . (8)

Если собственные частоты близки , то формулы (8) описывают биения. При из (8) следует

, , , .

Это означает, что рассматриваемый режим колебаний можно возбудить, если в начальный момент времени оба маятника отпустить без начальной скорости: первый из положения, смещенного от равновесного положения на угол , а второй из положения равновесия.

Для определения частоты биений воспользуемся формулами (5):

и приближенным соотношением . Из этих выражений найдем и

. (9)

Если варьировать начальные условия (углы отклонения маятников и их начальные скорости при ), то можно реализовать различные виды колебаний, частными случаями которых являются три рассмотренных выше; в общем случае происходят колебания с пульсирующей амплитудой.

 

Описание установки

Установка содержит два маятника, соединенные легкой пружиной (рис. 2б). На оси вращения каждого маятника закреплен датчик угла поворота, подключенный к блоку питания. Информационный сигнал с выхода датчика, пропорциональный углу отклонения маятника от положения равновесия, поступает на входы устройства преобразования «Cobra 3», и после преобразования в цифровую форму поступает в компьютер для обработки.

Датчик угла поворота выполнен на основе резистивного моста (рис.3). Ползунок реостата связан со стержнем маятника. При повороте стержня изменяется соотношение сопротивлений резисторов и, следовательно, напряжение , измеряемое вольтметром. Это напряжение пропорционально углу отклонения маятника. Ручная регулировка второго реостата (верхнего на рис.3) необходима для установки нулевого напряжения в положении равновесия маятника.

Рис. 3. Схема резистивного датчика угла поворота.

 

Каждый из маятников представляет собой стержень, к которому прикреплен груз в виде диска. Масса груза кг, его диаметр d = 80 мм. Расстояние от центра масс маятника до точки подвеса может изменяться в небольших пределах ( см) вращением узла крепления гири к стержню. При необходимости такой регулировки пригласите преподавателя или инженера.

 

Экспериментальная часть.

Подготовка к работе:

1. Установите заданное расстояние между точкой крепления пружины к маятнику и осью вращения в соответствии с индивидуальным заданием.

2. Включите блок питания, компьютер и запустите программу «measure».

Внимание! Перед включением приборов в сеть пригласите преподавателя или инженера для проверки схемы.