Вопрос 27 Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в вакууме

Величина d Ф = E dS= E d S называется потоком вектора напряженности через площадку d S. Здесь d S = dS n — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Выбор направления вектора n (а, следовательно, и d S) условен, так как его можно направить в любую сторону. Единица потока вектора напряженности электростатического поля — 1 В× м.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Е сквозь эту поверхность

Ф = = ,

 

Поток вектора Е является алгебраической величиной и зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления n. Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.

 

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов можно значительно упростить, используя теорему Остроградского-Гаусса.

Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре равен

Ф = = = .

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы.

В общем случае произвольной поверхности, окружающей п зарядов, в соответствии с принципом суперпозиции, напряженность. Е поля равна сумме напряженностей Е полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: Е = . Поэтому Ф = = = .

Каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Q / . Следовательно,

= =

(3.11)

Уравнение выражает теорему Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε_о. Эта теорема доказана для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801—1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю — К. Гауссом.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены в пространстве с непостоянной объемной плотностью ρ = dQ/dV. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,

=

(3.12)

и теорему Гаусса (3.11) можно записать так: = = .

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью + ( =dQ/dS— заряд, приходящийся на единицу поверхности).

E= /(2 )

(3.13)

Поле двух бесконечных параллельных равномерно заряженных плоскостей

Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями, + и - . Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E=0

E= /

 

 

Вопрос 28 Потенциал

Работа консервативны сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q в начальной и конечной точках поля заряда Q:

A = = U -U

(3.21)

Отношение U/Q не зависит от Q и является энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом:

Потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией положительного единичного заряда, помещенного в эту точку.

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

A = U - U = Q ( ), не зависит от траектории перемещения

(3.27)

т. е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля при перемещении положительного единичного заряда из точки 1 в точку 2.

= =

(3.29)

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Если перемещать заряд Q из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бесконечность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля

A = Q ,

откуда

= A / Q

(3.30)

Таким образом, потенциал — физическая величина, определяемая работой по переме­щению положительного единичного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность.

Единица потенциала — вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В= 1 Дж/Кл).

Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов.

Элементарная работа сил электростатического поля переноса положительного единичного точечного заряда на пути dl равна E d l = E dl, где E =Ecos — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения.

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю, следовательно, линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и заканчиваются на зарядах или же уходят в бесконечность.

Формула справедлива только для электростатического поля.