, (5-32)
- угловое ускорение массы, которое, в свою очередь, определяется как вторая производная по времени от угла j отклонения от вертикали (рис.5.9).
, (5-33)
или после сокращения обеих частей на величину m l:
. (5-34)
Знак минус в уравнениях (5-33) и (5-34) появился потому, что направление отсчета угла j взято против часовой стрелки, тогда как момент силы тяжести стремится повернуть маятник по часовой стрелке.
Для малых углов отклонения j синус угла можно разложить в ряд Тэйлора по малому параметру j:
f (x) = f (0) + 
Поскольку sin 0 = 0, то в разложении синуса исчезнут члены, содержащие f(0) и
вторую производную 
и синус угла j равен:
sin j = j - 
Даже для углов отклонения около 300, т.е. 0,5 рад (в математике угол обычно измеряется в радианах; один радиан» 570), вторая поправка в разложении синуса дает величину, чуть большую двух процентов, поэтому с достаточной степенью точности функцию синуса можно заменить его аргументом так, что уравнение (5-34) приобретает такой вид:
, (5-35)
что полностью совпадает с уравнением движения груза на пружине. Поэтому нетрудно придти к заключению, что частота колебаний математического маятника определится так же, как частота собственных колебаний груза на пружине:
. (5-36)
          
О
l цм
j
mg
Рис.5.10
| Если в качестве маятника используется тело произвольной формы, то уравнение вращательного движения для такого физическогомаятника записывается аналогично уравнению для математического маятника:
 , (5-37)
где l цм обозначает расстояние, на котором расположен центр масс тела от оси вращения (рис.5.10). Однако те-
теперь момент инерции такого маятника требует специального вычисления, которого в рамках нашего курса производиться не будет.
|
Частота собственных колебаний физического маятника равна:
W = 
. (5-38)
|
| Поделиться: |
