Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Колебания математического и физического маятников
Из школьного курса физики известно, что математический маятник представляет собой точечную массу, подвешенную на длинной невесомой и нерастяжимой нити. На первый взгляд раскачивание такой системы связано с изменением по меньшей мере двух координат сразу так, что для описания такого движения надо записывать второй закон Ньютона для каждой из координат в отдельности, а затем искать связь между ними. Однако задача может быть упрощена, если обратить внимание на то, что движение математического маятника происходит при постоянной длине нити подвеса, т.е. его можно рассматривать как частный случай вращательного движения, когда в качестве единственной переменной выбирается угол отклонения от положения равновесия. В этом случае вместо уравнения движения в форме второго закона Ньютона необходимо использовать основное уравнение динамики вращательного движения: I где I - момент инерции точечной массы относительно точки подвеса, М - момент всех внешних сил, действующих на эту массу, и
Рис.5.9 | Момент инерции точечной массы m, находящейся на расстоянии l от оси вращения, по определению равен I = m l 2, а единственной силой, момент которой относительно оси вращения отличен от нуля, является сила тяжести. Ее момент относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен M = mgh = mg l sin j, и уравнение динамики вращательного движения принимает вид: |
, (5-32)
- угловое ускорение массы, которое, в свою очередь, определяется как вторая производная по времени от угла j отклонения от вертикали (рис.5.9).
, (5-33)
или после сокращения обеих частей на величину m l:
. (5-34)
Знак минус в уравнениях (5-33) и (5-34) появился потому, что направление отсчета угла j взято против часовой стрелки, тогда как момент силы тяжести стремится повернуть маятник по часовой стрелке.
Для малых углов отклонения j синус угла можно разложить в ряд Тэйлора по малому параметру j:
f (x) = f (0) + 
Поскольку sin 0 = 0, то в разложении синуса исчезнут члены, содержащие f(0) и
вторую производную 
и синус угла j равен:
sin j = j - 
Даже для углов отклонения около 300, т.е. 0,5 рад (в математике угол обычно измеряется в радианах; один радиан» 570), вторая поправка в разложении синуса дает величину, чуть большую двух процентов, поэтому с достаточной степенью точности функцию синуса можно заменить его аргументом так, что уравнение (5-34) приобретает такой вид:
|
|
, (5-35)
что полностью совпадает с уравнением движения груза на пружине. Поэтому нетрудно придти к заключению, что частота колебаний математического маятника определится так же, как частота собственных колебаний груза на пружине:
. (5-36)
          
О
l цм
j
mg
Рис.5.10
| Если в качестве маятника используется тело произвольной формы, то уравнение вращательного движения для такого физическогомаятника записывается аналогично уравнению для математического маятника:
 , (5-37)
где l цм обозначает расстояние, на котором расположен центр масс тела от оси вращения (рис.5.10). Однако те-
теперь момент инерции такого маятника требует специального вычисления, которого в рамках нашего курса производиться не будет.
|
Частота собственных колебаний физического маятника равна:
W = 
. (5-38)
