Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса

Пусть имеем однородное электрическое поле (напряженность которого одинакова во всех точках пространства) с напряженностью , которое пронизывает некоторую плоскую поверхность площади S, тогда скалярное

произведение будет называться потоком вектора напряженности через поверхность S, (рис. 11.5), т.е.

, (11-14)

где — есть вектор, равный произведению величины площади на нормаль к этой поверхности, Е_n -проекция вектора на нормаль, к площадке.

В общем случае поле может быть неоднородным, поверхность неплоской. В этом случае поверхность можно мысленно разбить на бесконечно малые элементарные площадки dS, которые можно считать плоскими, а поле вблизи них однородным. В таком случае поток через элементарную площадку

 

. (11-15)

Полный поток вектора напряженности через поверхность S

. (11-16)

Найдем поток вектора напряженности электрического поля, создаваемого

точечным зарядом q, через сферическую поверхность радиуса r.

Площадь ее поверхности . Силовые линии электрического поля, идут по радиусам к поверхности сферы и поэтому угол между векторами и равен нулю.

. (11-17)

Можно показать, что поток через замкнутую поверхность не зависит от формы поверхности и от расположения зарядов в ней.

Рассмотрим поток, создаваемый системой зарядов, сквозь замкнутую поверхность произвольной формы, внутри которой они находятся (рис.11.6): .

Согласно принципу суперпозиции поэтому

таким образом . (11-18)

Итак, мы доказали теорему Остроградского-Гаусса:

«Полный поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на »

Теорема позволяет рассчитать электрические поля, создаваемые заряженными телами различной формы:

1) Поле равномерно заряженной, бесконечно протяженной плоскости (рис. 11.7).

Построим цилиндр, ось которого перпендикулярна к поверхности, и применим теорему Остроградского-Гаусса.

 

,

т.к. , то

,

отсюда , (11-19)

где s = q/S —поверхностная плотность заряда, измеряемая в СИ в Кл/м².

2) Поле между двумя бесконечно протяженными, разноименно заряженными параллельными плоскостями (рис. 11.8). Вне внутреннего промежутка, = 0 т. к. поля, созданные разноименно заряженными параллельными пластинами, направлены противоположно друг другу;

между плоскостями .

Итак: . (11-20)

По этой же формуле определяется напряженность электрического поля вблизи заряженного проводника.

Поле заряженного цилиндра: заряженный цилиндр радиуса R, (рис.11.9), окружим коаксиальной цилиндрической поверхностью радиуса r; поток вектора через основания равен нулю, т. к. , где - внешняя нормаль к основаниям цилиндра; поток через боковую поверхность ,

3) здесь h — высота цилиндра.

Согласно теореме Гаусса – Остроградского при

(11-21)

где t = q/ h — линейная плотность заряда, которая измеряется в Кл/м.

Когда r < R, то = 0.

4) Поле заряженной сферы: поток вектора через поверхность сферы радиуса r, (рис. 11.10), которая окружает заряженную сферу, имеющую радиус R,при r R . По теореме Остроградского-Гаусса

oткуда (11-22)

т.е. вне заряженной сферы поле такое же, как и поле точечного за­ряда той же величины, помещенного в центре сферы. Внутри сферы нет зарядов и поэтому поле там отсутствует, т. е.

R

r

при г < R имеем, = 0. Это свойство используют для экранировки от полей внешних зарядов.