Энергетические соотношения в колебательных процессах.

Для груза, совершающего гармонические колебания, значение кинетической энергии mv²/2 находится прямой подстановкой в величину кинетической энергии выражения для скорости колебательного движения, определяемой выражением (5-17):

Е_кин = . (5-25)

Максимальное значение этой энергии, очевидно, равно

(5-26) и достигается в момент, когда тело проходит положение равновесия. Пройдя это положение тело продолжает двигаться по инерции и вызывает деформацию пружины. При этом кинетическая энергия движущегося тела переходит в потенциальную энергию деформированной пружины Е_пот :

Е_пот = . (5-27)

Максимальное значение этого вида механической энергии равно:

. (5-28)

При незатухающих колебаниях , поэтому имеет место сохранение механической энергии: . В этом случае суммарная энергия сохраняет свою величину в любой момент времени (выражения (5-25) и (5-27)):

, (5-29)

где учтено, что sin² a + cos² a = 1 и .

Если колебания являются затухающими, за каждый период колебаний суммарная энергия колеблющегося тела уменьшается на величину работы против сил трения. В этом случае колеблющееся тело или любая система, в которой происходят колебания, характеризуется так называемым качеством или добротностью системы Q, которая определяется как способность системы к превращениям одного вида механической энергии в другой (т.е. кинетической в потенциальную или наоборот). Количественно добротность определяется (с точностью до коэффициента 2p) как отношение максимальной энергии упругой деформации (или максимальной кинетической энергии колеблющейся системы) к средней величине потерь энергии в системе за период. Известно, что среднее значение любой переменной величины <у> за период определяется соотношением:

< у > = .

Мгновенное значение силы вязкого трения F_трен= b bw₀A cos(w₀t +j), тогда среднее значение работы < А_трен > за единицу времени против этой силы равно:

< А_трен > = .

Выразим cos²(w₀t + j) через функцию двойного угла: cos² a = (1+cos2a) и подставим его в выражение для < А_трен >:

< А_трен > = = , (5-30)

 

поскольку значение второго интеграла в (5-30) равно нулю (среднее значение за период любой гармонической функции равно 0, т.к. эта функция половину периода положительна, а половину - отрицательна).

Очевидно, что за весь период Т, на преодоление силы трения будет затрачена энергия W_потер = < А_трен > Т, и добротность колебательной системы может быть определена как:

, (5-31)

где . Из выражения (5-31) видно, что добротность системы определяется ее упругими, инерционными и диссипативными свойствами. Можно сказать также, что добротность - это число, показывающее, за сколько периодов колебаний вся энергия, запасенная в системе, будет превращена в работу против сил трения, т.е. в тепло.

Как правило, добротность механических систем довольно высока. Здесь уместно вспомнить о звучании музыкальных инструментов: отдельная нота может звучать несколько секунд, хотя частота колебаний составляет несколько килогерц.