Реактивное движение. Уравнение движения тела переменной массы.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ра­кеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела пе­ременной массы на примере движения ра­кеты. Если в момент времени tмасса раке­ты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m - dm, а скорость станет равной . Изменение импульса систе­мы за отрезок времени dt

где — скорость истечения газов относи­тельно ракеты. Тогда

( — малый высшего порядка малости по сравнению с осталь­ными).

Если на систему действуют внешние силы, то , поэтому

,

, (2-9)

где - реактивная сила.

Если противоположен , то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормо­зится.

Таким образом, мы получили уравне­ние движения тела переменной массы

. (2-10)

Это уравнение впервые было выведено И. В.Ме­щерским (1859—1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказы­валась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854—1881). К.Э.Циолковский (1857— 1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и ос­новы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основате­лем отечественной космонавтики.

Применим уравнение (2-10) к движе­нию ракеты, на которую не действуют ни­какие внешние силы. Полагая и счи­тая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

.

 

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ра­кеты равна нулю, а ее стартовая масса то, . Следовательно,

. (2-11)

(2-11) называется формулой Циолковского. Из этой формулы следует, что: 1) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса ракеты; 2) чем больше скорость истече­ния газов, тем больше может быть ко­нечная масса при данной стартовой массе ракеты.

 

Работа и мощность

Пусть тело под действием постоянной силы совершило перемещение s (Рис.2.3). Перемещение тела обусловлено касательной составляющей силы Fcos , которая называется движущей силой. Нормальная составляющая силы Fsin не вызывает перемещение тела по пути s.

Произведение движущей силы на перемещение называется работой:

. (2-12)

При работа положительна и сила вызывает перемещение тела;

при работа отрицательна и сила препятствует движению тела; при сила не совершает работы по перемещению; при

В случае переменной силы и криволинейного пути формулой (2-12) пользоваться нельзя. В этом случае, рассматривая элементарное перемещение , силу можно считать постоянной и движение прямолинейным. Элементарной работой силы на перемещение называется величина

где - угол между векторами и ; - проекция вектора на (рис.2.1).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 определяется интегрированием

.

Работа является скалярной величиной и измеряется в Джоулях.

. 1Дж – работа, совершаемая силой 1 Н при перемещении тела на расстояние 1 м в направлении действия силы.

Для того, чтобы знать как быстро совершается работа, вводят понятие мощности:

.

Если тело под действием постоянной силы движется с постоянной скоростью, то мощность можно выразить в виде

.

Мощность тоже скалярная величина. Единица мощности – ватт. 1Вт – мощность, при которой за 1 с совершается работа, равная 1 Дж.

 

2.8. Энергия. Закон сохранения энергии

Энергия характеризует состояние системы, способность системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое.

Изменение энергии выражается работой, которую может совершить система, переходя из одного состояния в другое, т.е.:

,

где и - энергии системы в исходном и конечном состояниях.

Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы. Определим эту энергию.

Пусть тело под действием силы тело изменило свою скорость от 0 до . Тогда

.

Согласно второго закона Ньютона Умножая обе части этого равенства на , получим

Если учесть, что , то .

.

Кинетическая энергия зависит только от скорости и массы тела.

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Силы, работа которых не зависит от формы пути, называются потенциальными, а поле этих сил – потенциальным. Тело, находясь в потенциальном поле, обладает потенциальной энергией. Работа, совершенная в этом поле равна приращению потенциальной энергии:

.

.

Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

.

Определим потенциальную энергию упругодеформированного тела. Элементарная работа при бесконечно малой деформации

.

Таким образом, .

Полная энергия системы складывается из всех присущих системе видов энергии.

Закон сохранения и превращения энергии в изолированной системе:

Полная энергия изолированной системы остается постоянной. При этом, будучи несозидаемой и неуничтожаемой, энергия может превращаться из одних видов другие.

Закон сохранения и превращения энергии в неизолированной системе:

Изменение энергии неизолированной системы равно работе, совершаемой системой:

.

Если работа совершается внутренними силами самой системы, то работа положительна и энергия системы убывает. Если же работа совершается внешними силами над системой, то работа отрицательно и энергия системы возрастает.

Закон сохранения и превращения энергии раскрывает физический смысл понятий энергии и работы. Таким образом, энергия является количественной и качественной характеристикой движения материи, а работа – количественная характеристика превращения одних форм движения материи в другое.

Лекция № 3

Динамика вращательного движения. Понятие абсолютно твердого тела. Поступательное и вращательное движение тела. Центр масс. Момент силы. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, его момент инерции и кинетическая энергия. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Второй закон динамики для вращательного движения.