Электромагнитная теория Максвелла.

В 60-х годах прошлого века (около 1860 г.) Максвелл, основываясь на идеях Фарадея, обобщил законы электростатики и электромагнетизма: теорему Гаусса - Остроградского для электростатического поля и для магнитного поля ; закон полного тока ; закон электромагнитной индукции , и в результате разработал законченную теорию электромагнитного поля.

Теория Максвелла явилась величайшим вкладом в развитие классической физики. Она позволила с единой точки зрения понять широкий крут явлений, начиная от электро­статического поля неподвижных зарядов и заканчивая электромагнитной природой света.

Математическим выражением теории Максвелла служат четыре уравнения Максвелла. которые принято записывать в двух формах: интегральной и дифференциальной. Дифференциальные уравнения получаются из интегральных с помощью двух теорем векторного анализа - теоремы Гаусса и теоремы Стокса. Теорема Гаусса:

(15-12)

- проекции вектора на оси; V - объем, ограниченный поверхностью S.

Теорема Стокса: . (15-13)

здесь rot - ротор вектора , который является вектором и выражается в декартовых коор­динатах следующим образом:

rot , (15-14)

S - площадь, ограниченная контуром L.

Уравнения Максвелла в интегральной форме выражают соотношения, справедливые для мысленно проведенных в электромагнитном поле неподвижных замкнутых контуров и поверхностей.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме показывают как связаны между собой характеристики электромагнитного поля и плотности зарядов и токов в каждой точке этого поля.

 

1) Первое уравнение Максвелла

Оно является обобщением закона электромагнитной индукции ,

и в интегральной форме имеет следующий вид

(15-15)

 

и утверждает, что с переменным магнитным полем неразрывно связано вихревое электри­ческое поле , которое не зависит от того находятся в нем проводники или нет. Из (15-13) следует, что

. (15-16)

Из сравнения (15-15) и (15-16) находим, что

(15-17)

Это и есть первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

 

 

2) Ток смешения. Второе уравнение Максвелла

Максвелл обобщил закон полного тока предположив, что переменное электрическое поле, также как и электрический ток, является источником магнитно­го поля. Для количественной характеристики "магнитного действия" переменного электри­ческого поля Максвелл ввел понятие тока смещения.

По теореме Гаусса - Остроградского поток электрического смешения сквозь замкну­тую поверхность

Продифференцировав это выражение по времени, получим для неподвижной и недеформируемой поверхности S

(15-18)

Левая часть этой формулы имеет размерность тока, который, как известно, выражает­ся через вектор плотности тока

. (15-19)

Из сравнения (15-18) и (15-19) следует, что имеет размерность плотности тока: А /м². Максвелл предложил назвать плотностью тока смещения:

. (15-20)

Ток смещения

. (15-21)

Из всех физических свойств, присущих действительному току (току проводимости), связанному с переносом зарядов, ток смешения обладает лишь одним: способностью соз­давать магнитное поле. При "протекании" тока смещения в вакууме или диэлектрике не вы­деляется тепло. Примером тока смещения может служить переменный ток через конденсатор. В общем случае токи проводимости и смещения не разделены в пространстве и мож­но говорить о полном токе, равном сумме токов проводимости и смещения:

(15-22)

С учетом этого Максвелл обобщил закон полного тока, добавив в правую часть его ток смешения

. (15-23)

Итак, второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид:

. (15-24)

Из (15-13) следует, что

. (15-25)

Из сравнения (15-24) и (15-25) находим, что

. (15-26)

Это и есть второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

3)Третье и четвертое уравнения Максвелла

Максвелл обобщил теорему Гаусса - Остроградского для электростатического поля. Он предположил, что эта теорема справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного. Соответственно, третье уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид:

. (15-27)

или . (15-28)

где - объемная плотность свободных зарядов, [ ]= Кл / м³

Из (15-12) следует, что

. (15-29)

Из сравнения (15-28) и (15-29) находим,что

. (15-30)

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах имеет

следующий вид:

, (15-31)

. (15-32)

4)Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

.

, .

Эту систему уравнений необходимо дополнить материальными уравнениями, характе­ризующими электрические и магнитные свойства среды:

, , .

Итак, после открытия взаимосвязи между электрическими и магнитным полями ста­ло ясно, что эти поля не существуют обособлено, независимо одно от другого. Нельзя соз­дать переменное магнитное поле без того, чтобы одновременно в пространстве не возникло и электрическое поле.

Отметим, что покоящийся в некоторой системе отсчета электрический заряд создает только электростатическое поле в этой системе отсчета, но он будет создавать магнитное поле в системах отсчета, относительно которых он движется. То же самое относится и к неподвижно­му магниту. Заметим также, что уравнения Максвелла инвариантны к преобразованиям Лоренца: причем для инерциальных систем отсчета К и К’ выполняются следующие соотношения: , .

На основании изложенного можно сделать вывод, что электрические и магнитные поля являются проявлением единого поля, которое называют электромагнитным полем. Оно распространяется в виде электромагнитных волн.

Переменный ток

Установившиеся вынуж­денные электромагнитные колебания мож­но рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктив­ности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазиста­ционарным, т. е. для него мгновенные зна­чения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изме­нения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распро­страняются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.

Рассмотрим последовательно процес­сы, происходящие в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и кон-

содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, при приложении к ней перемен­ного напряжения

U=U_mcoswt, (15-33)

где U_m — амплитуда напряжения.

Переменный ток, текущий через ре­зистор сопротивлением R (L®0, С®0) (рис.15.1, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома:

I=U/R=(U_m/R)coswt=I_mcoswt,

где амплитуда силы тока l_m=U_m/R.

Для наглядного изображения соотно­шений между переменными токами и на­пряжениями воспользуемся методом век­торных диаграмм. На рис. 15.1, б дана век­торная диаграмма амплитудных значений тока I_m и напряжения U_m на резисторе (сдвиг фаз между I_m и U_m равен нулю).

Переменный ток, текущий через ка­тушку индуктивностью L (R®0, C®0) (рис. 15.2, а). Если в цепи приложено пере­менное напряжение (15-33), то в ней по­течет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции

ξ_s =-LdI/dt. Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи имеет вид

U_mcoswt-LdI/dt=0,

откуда

LdI/dt=U_mcosw. (15-34)

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

U_L=LdI/dt (15-35)

есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (15-34) следует, что

dI=(U_m/L)coswt/dt,

или после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна

нулю (так как отсутствует постоянная составля­ющая тока), получим

(15-36)

Величина

R_L= wL (15-37)

называется реактивным индуктивным со­противлением (или индуктивным сопро­тивлением). Из выражения (15-36) выте­кает, что для постоянного тока (w=0) катушка индуктивности не имеет сопротив­ления. Подстановка значения U_m=wLI_m в выражение (15-34) с учетом (15-35) приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:

U_L=wLI_mcoswt. (15-38)

Сравнение выражений (15-36) и (15-38) приводит к выводу, что падение напряже­ния U_L опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на p/2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 15.2, б).

Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R®0, L ®0 )

Если переменное напряже­ние приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи потечет переменный ток. Так как все внеш­нее напряжение приложено к конденсато­ру, а сопротивлением подводящих прово­дов можно пренебречь, то

 

 

Q/C=U_C=U_mcoswt.

Сила тока (15-38)

Величина

R_C=1/(wС)

называется реактивным емкостным сопро­тивлением (или емкостным сопротивлени­ем). Для постоянного тока (w=0) R_C=¥, т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе

U_C=(1/wC)I_mcoswt. (15-39)

Сравнение выражений (15-38) и (15-39) приводит к выводу, что падение напряже­ния U_C отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на p/2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 15.3, б).

Цепь переменного тока, содержа­щая последовательно включенные ре­зистор, катушку индуктивности и конден­сатор. На рис. 15.4,а представлена цепь, содержащая резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение. В цепи возникнет переменный ток, который вы­зовет на всех элементах цепи соответству­ющие падения напряжения U_R, U_L и U_C. На рис. 15.4, б представлена векторная ди­аграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R), катушке (U_L) и кон­денсаторе (U_C). Амплитуда U_m приложен­ного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 15.4, б, угол j определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что

(15-40)

Из прямоугольного треугольника получаем,

 

откуда амплитуда силы тока имеет значение

(15-41)

Таким образом, если напряжение в це­пи изменяется по закону

U=U_m cosw t,

то в цепи течет ток

I = I_mcos(wt-j), (15-42)

где j и I_m определяются соответственно формулами (15-41) и (15-42). Величина

(15-43)

называется полным сопротивлением цепи, а величина

— реактивным сопротивлением.

Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений U_R и U_L в сумме равны приложенному напряже­нию U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 15.5, из кото­рого следует, что

(15-44)

Отсутствие конден­сатора в цепи означает С=¥, а не С=0.

Резонанс напряжений

Если в цепи переменного тока, содержа­щей последовательно включенные конден­сатор, катушку индуктивности и резистор (рис.15.4),

wL= 1/(wС), (15-45)

то угол сдвига фаз между током и на­пряжением обращается в нуль (j=0), т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (15-45) удовлетворяет частота

w_рез=l/ÖLC. (15-46)

В данном случае полное сопротивление цепи Z становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопро­тивлением, принимая максимальные (воз­можные при данном U_m) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряже­нию, приложенному к цепи (U_R=U), а па­дения напряжений на конденсаторе (U_C) и катушке индуктивности (U_L) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом на­пряжений (последовательным резонан­сом), а частота (15-46) — резонансной частотой. Векторная диаграмма для резо­нанса напряжений приведена на рис.15.6.

В случае резонанса напряжений

(U_L)_реэ=(U_C)_рез,

поэтому, подставив в эту формулу значе­ния резонансной частоты и амплитуды на­пряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим

 

где Q — добротность контура. Так как до­бротность обычных колебательных конту­ров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на кон­денсаторе превышает напряжение, прило­женное к цепи. Поэтому явление резонан­са напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонанса на конденсаторе мож­но получить напряжение с амплитудой QU_m (Q в данном случае — добротность контура), которая может быть значительно больше U_m). Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонансной частоты кон­тура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настро­иться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учиты­вать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы и ка­тушки индуктивности, так как иначе мо­жет наблюдаться их пробой.

Резонанс токов.

Рассмотрим цепь переменного тока, со­держащую параллельно включенные кон­денсатор емкостью С и катушку индуктив­ностью L (рис.15.7). Для простоты до­пустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пре­небречь. Если приложенное напряжение изменяется по закону U=U_m coswt(см. (149.1)), то, согласно формуле (15-42), в ветви 1С2 течет ток

I ₁=I_m1cos(wt-j₁),

амплитуда которого определяется из вы­ражения (15-41) при условии R =0 и L=0:

Разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна j₁-j₂=p, т. е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

I_m=│I_m1,-I_m2│=U_m│wC-l/(wL)|.

Если w=w_рез=1/ÖLС, то I_m1=I_m2 и I_m=0.

Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближе­нии частоты w приложенного напряжения к резонансной частоте w_рез называется ре­зонансом токов (параллельным резонансом). В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений.

 

Амплитуда силы тока I_m оказалась равна нулю потому, что активным сопро­тивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R, то разность фаз j₁-j₂ не будет равна p, поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока I_m будет отлична от нуля, но примет наи­меньшее возможное значение. Таким об­разом, при резонансе токов во внешней цепи токи I ₁ и I ₂ компенсируются и сила тока I в подводящих проводах достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор. При резонан­се токов силы токов I₁ и I₂ могут значи­тельно превышать силу тока I.

Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной, поэто­му это свойство резонанса токов использу­ется в резонансных усилителях, позволяю­щих выделять одно определенное колеба­ние из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в ин­дукционных печах, где нагревание метал­лов производится вихревыми токами. В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих про­водах.