Дифференциальное уравнение колебаний.

Свободные колебания. Рассмотрим колебания груза массы m, висящего на пружине, жесткость которой. Направим ось координат Х вертикально вниз,

причем за начало отсчета примем точку О (рис.5.8), лежащую на одном уровне с центром масс m, когда груз неподвижен. При этом пружина растянута на величину x по сравнению с недеформированном состоянием. Величина упругой силы, действующей на массу m, равна kx. В положении равновесия

mg - kx = 0. (5-13)

Если теперь сместить груз из положения равновесия, то он начнет совершать колебательное движение. Колебания, которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и затем предоставленной самой себе, называются свободными или собственными колебаниями, а частота, с которой происходят эти колебания, называется собственной частотой. Пусть в некоторый момент времени смещение груза равно х. Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось Х может быть записан в следующем виде:

ma_x = mg - k (x +x) или с учетом (5-13)

ma_x = - kx. (5-14)

В свою очередь, уравнение (5-14) можно записать иначе, если представить ускорение тела через вторую производную смещения по времени a_x = d²x/dt ² и обозначить величину k/m = :

= - x. (5-15)

Уравнение (5-15) является дифференциальным уравнением второго порядка, однако его решение можно просто угадать простым перебором всех элементарных функций, из которых только функции синуса и косинуса удовлетворяют решению этого уравнения. Действительно, если

смещение x = A sin(w₀t + j), (5-16)

 

то скорость тела , (5-17)

и ускорение тела . (5-18)

Сравнение (5-16) и (5-18) показывает, что действительно (5-16) является решением уравнения (5-15). Величины А и j остаются произвольными, для их определения необходимо использовать начальные условия, т.е. значения смещения и скорости тела в начальный момент времени. Например, если при t = 0 x (0)= 0, а v(0) = v₀, то из (5-16) следует, что sinj = 0 и j = 0, a из (5-17) величина А = v₀/w₀. При этих условиях решением уравнения (5-15) служит функция х(t) = . Задание тех или иных начальных условий обычно определяется конкретными условиями поставленной задачи.

Затухающие колебания. В реальной жизни любой колебательный процесс постепенно затухает из-за наличия сил трения. Для колебаний груза на пружине существенную роль играет так называемое вязкое трение, сила которого при малых смещениях оказывается пропорциональной величине скорости тела:

F_трен = - bv = - b . (5-19)

В этом случае второй закон Ньютона (уравнение движения) для груза, колеблющегося на пружине, приобретает такой вид:

+ mg - k (x +x). (5-20)

Вводя обозначения , это уравнение можно преобразовать так:

, (5-21)

где по-прежнему . Решение этого дифференциального уравнения может быть получено обычным способом, но можно показать, что уравнение (5-21) можно свести к уравнению типа (5-15). Для этого достаточно ввести замену переменных x(t) = z (t)e ^{- bt}. Проводя операцию дифференцирования, имеем:

; 2b ;

, .

С учетом этого уравнение (5-21) может быть записано в таком виде:

+ + = 0

После сокращения на величину и приведения подобных членов получаем:

. (5-22)

Сравнивая полученное уравнение с выражением (5-15), нетрудно заметить их почти полную идентичность; различие состоит лишь в том, что частота колебаний в (5-22) определяется из формулы . Таким образом решение уравнения (5-21) имеет вид:

, (5-23)

где как и ранее величины А и j определяются из начальных условий. В большинстве случаев b<<w₀ и w₃» w₀. Решение (5-23) представляет уже негармоническое колебание, т.к. его амплитуда А уменьшается с течением времени. Относительное изменение амплитуды за период колебания характеризуется декрементом затухания D, величина которого находится из выражения:

, (5-24)

т.е. декремент затухания равен относительному уменьшению амплитуды за время, равное периоду колебания. Натуральный логарифм D называют логарифмическим декрементом затухания d, т.е. d = ln D = bТ.