Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

 

Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

, (11.5)

называется алгебраической линией второго порядка.

Для квадратичной формы можно задать матрицу

. (11.6)

Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

1) поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);

2) параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.

Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:

(в предположении, что λ _1,2 не равны 0).

Зададим последующий параллельный перенос формулами:

. Получим в новой координатной системе уравнение

. (11.7)

Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ ₁, λ ₂ и :

1) если собственные числа матрицы А λ ₁ и λ ₂ и одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:

, где

(случаи и , имеющего знак, противоположный знаку λ ₁, λ ₂, будут рассмотрены в следующей лекции).

2) если λ ₁ и λ ₂ имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:

или , в зависимости от знака .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:

, (11.8)

являющимся каноническим уравнением параболы.

 

Пример.

Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка

3 x ² + 10 xy +3 y ² - 2 x – 14 y – 13 = 0.

Матрица квадратичной формы 3 x ² + 10 xy + 3 y ² имеет вид:

.

Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение: Для координат собственного вектора е ₁, соответствующегоλ₁, получим с учетом нормировки:

, откуда e ₁ = { }. Аналогично найдем е ₂: ,

e ₂ = { }. Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов: . Тогда

. Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат: Заметим, что коэффициентами при x ² и y ² являются λ ₁ и λ ₂.

Преобразуем полученное уравнение:

Зададим параллельный перенос формулами: . Получим уравнение: , а после деления на 8:

- каноническое уравнение гиперболы.

16.

Определение 11.1. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

 

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

 

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

 

Эллипс.

 

Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Замечание. При совпадении точек F ₁ и F ₂ эллипс превращается в окружность.

Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

у М(х,у) координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F ₁ F ₂, начало

r₁ r₂ координат – с серединой отрезка F ₁ F ₂. Пусть длина этого

отрезка равна 2 с, тогда в выбранной системе координат

F₁ O F₂ x F ₁(- c, 0), F ₂(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и

сумма расстояний от нее до F ₁ и F ₂ равна 2 а.

Тогда r ₁ + r ₂ = 2 a, но ,

поэтому Введя обозначение b ² = a ²- c ² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса: (11.1)

 

Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (11.2)

 

Определение 11.4. Директрисой D_i эллипса, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

 

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

 

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2 а и 2 b (2 a >2 b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3) Эксцентриситет эллипса e < 1.

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е <1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния r_i от точки эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

Составим уравнения директрис:

(D ₁), (D ₂). Тогда Отсюда r_i / d_i = e, что и требовалось доказать.

 

Гипербола.

Определение 11.5. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

| r₁ - r₂| = 2 a, откуда Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить

 

- каноническое уравнение гиперболы. (11.3)

 

Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

 

Определение 11.7. Директрисой D_i гиперболы, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

 

Свойства гиперболы:

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

и .

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

, (11.3`)

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния r_i от точки гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

 

 

Парабола.

 

Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

у Для вывода уравнения параболы выберем декартову

систему координат так, чтобы ее началом была середина

d M(x,y) перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-

r су, а координатные оси располагались параллельно и

перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

D O F x равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

поскольку

Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y ² = 2 px, (11.4)

называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

 

Свойства параболы:

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

 

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e <1), гиперболу (при e >1) или параболу (при е =1).

 

17. Определение 12.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

- (12.1)

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

 

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом , целиком принадлежит этой поверхности.   Теорема (об уравнении поверхности вращения).   Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x^2+y^2,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

 

Эллипсоид:

 

 

 

18. Конус.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и

пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р) называется

конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется

направляющей конуса, точка Р – ее вершиной, а прямая, описывающая

поверхность, называется образующей.

- уравнение конуса

Эллипсоид.

Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, параллельными xOy. Уравнения

таких плоскостей z=h, где h – любое число. Линия, получаемая в сечении,

определяется двумя уравнениями:

Если |h|>c, c>0, то точек пересечения поверхности с плоскостями z=h нет.

Если |h|=c, т.е. h=±c, то

. Линия пересечения вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоскости z=c и

z=–c касаются поверхности.

Если |h|<c, то уравнения можно переписать в виде:

Линия пересечения есть эллипс с полуосями.

Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность, где a,b,с – полуоси. Если все

они различны, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две

полуоси равны, то тело называется эллипсоид вращения, если a=b=c, то тело

называется сферой x²+y²+z²=R²

19. Однополостный гиперболоид

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. К ним относится однополосный гиперболоид.

Однополосный гиперболоид.

Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

(1)

Из уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

Уравнение (1) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (1) то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

Установим вид поверхности (1). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

и

 

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

или

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и ,

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

Исследование поверхности методом параллельных сечений.

Суть метода заключается в выяснении формы линий пересечения поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Рассмотрим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости OXY. Все уравнения линий пересечений будут получаться из уравнения плоскости, в котором z будет заменена на некоторое число, равное расстоянию от пересекающей плоскости до плоскости OXY. Для более наглядного представления, я изобразил все полученные кривые в виде проекций на плоскость OXY. Изображения кривых представлены выше.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида. Если a=b,то гиперболоид может быть получен вращением гиперболы с полуосями а и с вокруг мнимой оси 2с.

 

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная относительно специально выбранной системы координат уравнением x2/a2+y2/b2-z2/c2=-1 (1). Если точка (x, y, z) принадлежит двуполостному гиперболоиду (1), то на этой поверхности лежит точка с координатами (±x, ±y, ±z) при любом наборе знаков, следовательно начало координат является центром двуполостного гиперболоида, координатные оси — осями симметрии, координатные плоскости — плоскостями симметрии. Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки пересечения поверхности с осью oz (0, 0, ±c). http://uchim.org/algebra-i-geometrija/dvupolostnyj-giperboloid - uchim.org Пусть в (1) a=b, тогда двуполостный гиперболоид получается вращением гиперболы x2/a2-z2/c2=-1 или z2/c2-x2/a2=1, у которой ось oz является её вещественной осью, а ox мнимой. Вращение гиперболы осуществляется вокруг оси oz. В этом случае двуполостный гиперболоид называется двуполостным гиперболоидом вращения.

20. Эллиптический параболоид

. (10)

Так как в (10) присутствуют квадраты переменных и , то данная поверхность симметрична относительно координатных плоскостей , . Далее, так как мы считаем , то поверхность (10) расположена в полупространстве .

Пересекая поверхность (10) плоскостями , в сечении будем получать эллипсы.

с полуосями

, .

При изменении от нуля до данные эллипсы описывают нашу поверхность (10).

Пересекая поверхность (10) плоскостями (или ), мы получим в сечении параболы

со смещенной вершиной в точке .

При поверхность (10) будет поверхностью вращения, получающейся от вращения параболы около оси . В этом случае поверхность (10) называют параболоидом вращения.

Точка лежит на поверхности (10) и называется вершиной эллиптического параболоида. Эллиптический параболоид изображен на рис. 46.

Рис. 46

Гиперболический параболоид

. (11)

По виду уравнения (11) заключаем, что данная поверхность симметрична относительно плоскостей , . Пересекая поверхность (11) плоскостями , мы будем получать в сечении гиперболы

,

причем при действительная ось симметрии гиперболы будет параллельной оси , а при - оси . При в сечении будут две пересекающиеся прямые.

При сечении поверхности (11) плоскостями или получим параболы, направленные ветвями вниз или вверх:

, .

Поверхность (11) изображена на рис.47.

Рис.47

21. Определение.

Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа.

Так как любое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической дроби, а иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями, то озвученное определение действительных чисел можно переформулировать следующим образом.

Определение.

Действительные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

 

Множество вещественных чисел разбивается на два множества — Q рациональных и`Q (I) иррациональных чисел.

 

Определение 1: Рациональным называется число, которое можно представить в виде p / q, где р и q — целые числа, причем q ¹0.

 

Определение 2: Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным.

 

Всякое рациональное число p / q является либо целым, либо его можно представить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби.

Всякое иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью.