Следствие 2 (фальшивое разложение определителя



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Следствие 2 (фальшивое разложение определителя



Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-ой строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-ой, такие же, как у матрицы А, а элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0 . С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-ой строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-ой строки матрицы А. Но элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-ой строки матрицы А.

4. ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры.Решить систему уравнений

Итак, х=1, у=2, z=3.

  1. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому .

    1. При
    2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
    3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yÎR.

6. Комплексным числом zназывается упорядоченная пара действительных чисел x и y.
Первое из них x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Rez, x = Rez;
второе число y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Imz, y = Imz.
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Число
, где
называется комплексно сопряженным числу

Комплексное число z =x +iy естественно изображать в виде точки на плоскости с декартовыми координатами (x, y).

 

Если x и y - декартовы координаты точки плоскости, то, перейдя на плоскости к полярным координатам (r, j) и воспользовавшись связью
x = rcosj, y = rsinj
получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:
z = r (cosj + isinj) .
При этом число r называют модулемкомплексного числа, |z| = r, а число j - аргументомкомплексного числа,
Arg z = arg z+2kp= j.

При решении задач для вычисления аргумента удобно пользовааться схемой, приведенной ниже:

Справедливы соотношения:

Используя формулу Эйлера

получим показательную формузаписи комплексного числа:

Понятие комплексного числа

Определение комплексного числа:

комплексное число - это упорядоченная пара действительных чисел.

Если каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, то каждому комплексному числу соответствует точка координатной плоскости.

Пример комплексного числа:

(2; 4), это упорядоченная пара действительных чисел.

Как понимать "упорядоченная"? В нашем примере (2; 4) на первом месте стоит 2, а на втором стоит 4. Если поменять местами эти числа, вот так (4; 2), то мы получаем другое число, которое не равно числу (2; 4).

Комплексное число (0; 0) называют комплексным нулём.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.204.2.146 (0.007 с.)