Размерность линейного пространства

Рассмотрим произвольное вещественное пространство R.

Определение 3.1. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n +1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства R.

Размерность пространства обозначают символом dim.

Определение 3.2. Линейное пространство R называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема 3.3. Пусть R является линейным пространствам размерности n (dim R=n). Тогда любые n линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Так как R является n -мерным пространством, то из определения 2.1 следует, что в нем существует совокупность из n линейно независимых элементов . Пусть x - любой элемент из R. Тогда согласно определению 3.1 линейно зависимы, т.е. существуют числа (не все равные нулю) такие, что справедливо равенство

(3.1)

Заметим, что λ ₀≠0 т.к. в противном случае из равенства (3.1) следовала, что элементы линейно зависимы. Поделив равенство (3.1) на λ ₀ и положив

(3.2)

получим

 

(3.3)

Из равенства (3.3) следует, что любой вектор из пространства R может быть разложен по элементам и, следовательно, они образуют базис пространства R. ■

Теорема 3.4. Пусть линейное пространство R имеет базис, состоящий из n элементов. Тогда размерность R равна n (dim R=n).

Доказательство. Пусть множество n элементов является базисом пространства R. Достаточно доказать, что любые n +1 элементы этого пространства линейно зависимы. Разложив эти элементы по базису, получим:

 

(3.4)

где a ₁₁, a ₁₂ ,..., a _n+1,n вещественные числа.

Пусть элементы линейно независимы. Перепишем (3.4) в матричном виде:

 

(3.5)

 

(3.6)

где , n×n-матрицы(элементы здесь являются вектор-строками),

 

(3.7)

Так как линейно независимы, матрица A имеет обратную матрицу A^-1. Решив матричное уравнение (3.5) относительно получим:

 

(3.8)

Подставляя (3.8) в (3.6), получим:

(3.9)

Как видно из уравнения (3.9) можно представить линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы линейно зависимы. ■

 

Линейная зависимость векторов, теоремы о линейной зависимости.

Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если сущ. числа не все равные 0, такие что (1)

Система векторов называется линейно независимой, если равенство (1) возможно только в том случае, когда все числа =0

Выражение стоящее в левой части рав-ва (1) наз-ют линейной комбинацией векторов

Определение 2. Система векторов является линейно зависимой, если существует линейная комбинация этих векторов с неравными 0 числами, которая тождественно равна.

Теорема 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то данная система линейно зависима.

Доказательствово. Пусть , тогда

Теорема 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить произвольный вектор , то вновь полученная система будет линейно зависима.

Доказательство. Т.К. система векторов линейно зависима, то есть не все равные нулю, такие что (2) (3)

(4)

Есть ,

0 -не все равны нулю

Следовательно система линейно зависима.

Следствие. Если к линейно зависимой системе добавить любое кол-во векторов, то полученная система будет линейно зависима.

Теорема о линейной зависимости двух векторов

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство.

-коллинеарны

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны

Доказательство.

Для и пл-ть , что (или //) и либо , либо // ей они компланарны.

Теорема. В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы.

Доказательство.

-угол между

Вектор в системе координат

Базис-максимальная упорядоченная система линейно независимых векторов.

На плоскости 2 любых неколлинеарных вектора образуют базис.

ДПБ-базис, состоящий из ортогональных еденичных векторов.

Операции над векторами в координатной форме.

-нач.точка -кон.точка

направляющие косинусы