Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений

Понятие системы линейных алгебраических уравнений

Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее - СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi - свободными членами, aij и bi (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x 1,…, xn - неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j - номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа xn. Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: AX=B. Здесь А - матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

- вектор-столбец из неизвестных xj.

- вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Решение системы линейных алгебраических уравнений

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2,…, xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему - это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=…=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Метод исключения Гаусса

Сущность метода исключения Гаусса

Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных - метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы.

1. Прямой ход.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним.

После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

,

где

Коэффициенты aii называются главными (ведущими) элементами системы.

1-й шаг.

Будем считать, что элемент (если a11=0, переставим строки матрицы так, чтобы a 11 не был равен 0. Это всегда возможно, т. к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна).

Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы (или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на). Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы (или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на). Таким образом, последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i -й строке, для i= 2, 3, …, n.

Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему:

Здесь - новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:

Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a110, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а22(1) (если a22(1)0) и т.д. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида то это свидетельствует о несовместности системы.

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

2. Обратный ход.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.

Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (она в нем всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх.

Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Примечание: на практике удобнее работать не с системой, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11).

Примеры решения СЛАУ методом Гаусса

В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ.

Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой:

Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, домножив вторую строку на 6 и вычитая из неё третью:

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное;

из первого, подставив полученные и.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Пример 2. Решить неопределенную СЛАУ 4-го порядка:

В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

исходная система свелась к ступенчатой, где количество уравнений меньше, чем количество неизвестных:

Поэтому общее решение системы: x2=5x4-13x3-3; x1=5x4-8x3-1. Если положить, например, что x3=0, x4=0, то найдем одно из частных решений этой системы x1=-1, x2=-3, x3=0, x4=0.

Пример 3. Решить СЛАУ 4-ого порядка.

Условие:

х1 - 2х2 - х3 + х4 = 1

х1 - 8х2 - 2х3 - 3х4 = -2

2х1 + 2х2 - х3 + 7х4 = 7

х1 + х2 + 2х3 + х4 = 1

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4х5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

1 -2 -1 1 | 1

1 -8 -2 -3 | -2

2 2 -1 7 | 7

1 1 2 1 | 1

Проведём следующие действия:

a) из второй строки вычтем первую строку (cтрока 2 - строка 1);

b) из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2 (cтрока 3-2 х строка 1)

c) из четвертой строки вычтем первую строку (cтрока 4 - строка 1). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 -6 -1 -4 | -3

0 6 1 5 | 5

0 3 3 0 | 0

Проведём следующие действия:

a) к третьей строке прибавим вторую строку (строка 3 + строка 2);

b) четвертую строку поделим на 3 (строка 4 = строка 4 / 3). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 -6 -1 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

0 1 1 0 | 0

Проведём следующие действия:

a) четвертую строку поставим на место второй строки;

b) третью строку поставим на место четвертой строки;

c) вторую строку поставим на место третьей строки. Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 -6 -1 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 6 (строка 3 + 6? строка 2). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 0 5 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

Проведём следующие действия:

a) к третьей строке прибавим четвертую, умноженную на 4 (строка3 + 4?строка4);

b) из первой строки вычтем четвертую строку (строка 1 - строка 4);

c) третью строку поделим на 5 (строка 3 = строка 3 / 5). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

Проведём следующие действия:

a) из второй строки вычтем третью строку (строка 2 - строка 3);

b) к первой строке прибавим третью строку (строка 1 + строка 3). Получим:

1 -2 0 0 | 0

0 1 0 0 | -1

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

c) К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2 (строка 1 + 2? строка 2 ). Получим:

1 0 0 0 | -2

0 1 0 0 | -1

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:

х1 = -2

х2 = -1

х3 = 1

х4 = 2

Комбинаторика.

Сколькими способами трое мальчиков - Алмас, Болат, Сабыр - могут стоять в одном ряду? - Это не трудно, напишем все возможные случаи (комбинации): АБС, АСБ, БАС, БСА, САБ, СБА. Всего шесть комбинаций.

Допустим к ним присоединился еще один мальчик Даурен. Каковы будут способы расположения в этом случае? В возможных шести случаях Даурен может стоять первым, вторым, третьим и последним:

ДАБС, ДАСБ, ДБАС, ДБСА, ДСАБ, ДСБА;
АДБС, АДСБ, БДАС, БДСА, СДАБ, СДБА;
АБДС, АСДБ, БАДС, БСДА, САДБ, СБДА;
АБСД, АСБД, БАСД, БСАД, САБД, СБАД.

Всего 24 разных способов. А если еще увеличить количество детей? Каждый раз писать и выводить общее количество трудно. Нам нужно определить число способов, а не виды способов. Нет ли других методов для определение этого число? - Есть. И в теории вероятностей нас больше интересует количество способов расположения, чем виды расположения. Раздел математики, называемый комбинаторикой, дает возможность сразу определить количество таких способов. Ознакомимся с основными понятиями комбинаторики, необходимыми для решения задач теории вероятностей. Это - перестановка, размещение и сочетания. Остановимся на каждом в отдельности.

1. Перестановка. Рассмотрим число случаев в предыдущей задаче. Мы переставили местами буквы А, Б, С и посчитали число всевозможных комбинаций, оно равнялось 6. А когда число мальчиков увеличилось на единицу, переставь местами буквы А, Б, С, Д, мы нашли число всевозможных комбинаций, оно равнялось 24.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Перестановкой из n различных элементов называются комбинации, которые состоят из n элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Число перестановок из n различных элементов обозначают P_n и подсчитывают по формуле:

P_n=n! (14)

здесь n! (читается "эн факториал") означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n:

n!=1•2•3•...•n

Понятно, что один факториал равен единице, 1! = 1, вместе с этим, в математике принято считать что и ноль факториал равен единице. И так 0! = 1.

Вернемся к примеру. Здесь n=3. Следовательно, можно найти искомое число перестановок по формуле (1): P₃=3!=1•2•3=6. Аналогично, число перестановок из четырех букв равно: P₄=4!=1•2•3•4=24

Пример 7. Найдем значение выражения с факториалами 8!/6!•2!

Сначала преобразуем 8!=1•2•3•4•5•6•7•8=6!•7•8

Это преобразование подставим в выражение и упростим. 8!/6!•2=6!•7•8/6!•2=7•8/2=28

2. Размещения. Рассмотрим пример. Сколько двузначных чисел (цифры не повторяются) можно записать с помощью цифр 7, 8, 9. Это можно сделать в двух этапах: первый этап - определение количество подбора разрядов десятков числа, он равен 3 (любая из данных 3 цифр может занять разряд десятков); второй этап - определение количество подбора разрядов единиц числа, он равен 2 (любая цифра из оставшихся двух может занять разряд единиц). По правилу умножения из трех чисел можно составить всего 3•2=6 различных двузначных чисел. Действительно, можно в этом убедиться непосредственно записывая эти числа 78, 79, 87, 89, 97, 98, При решении задачи мы расположили по два элемента из трех, причем эти комбинации отличаются либо составом (78, 98), либо порядком их расположения (78, 87).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Размещением из n элементов по m элементов (m n) называются комбинации, состоящие из m элементов, взятых из данных n различных элементов, отличающихся друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначают и читают так: "А из эн по эм". Чтобы найти используют формулу:

(15)

В нашем примере n=3, а m=2. Тогда

Рассмотрим еще один пример. В 5 классе изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание, если в этот день должно быть 4 различных урока?

Чтобы найти число способов расположения 10-ти предметов по четыре предмета, воспользуемся формулой (15) нахождения числа размещений из 10 элементов по 4 элемента:

Итак, 10 предметов по 4 предмета можно расположить 5040 различными способами.

3. Сочетания. Пример. Нужно составить произведения двух различных чисел из данных трех чисел 7, 8, 9.

Учитывая переместительное свойство умножения, имеем: 7•8=56, 7•9=63, 8•9=72. При решении задачи мы отобрали по два элемента из трех, причем эти комбинации отличаются только составом (78, 98), а их расположения не влияют на произведение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сочетанием из n элементов по m элементов (m n) называются комбинации, состоящие из m элементов, взятых из данных n различных элементов, отличающиеся друг от друга только составом.

Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначают и читают так: "це из эн по эм". Чтобы найти используют формулу:

(16)

В нашем примере n=3, а m=2. Тогда

Рассмотрим еще пример. В классе 25 учеников, из них 12 мальчиков. а) Нужно составить дежурство по два человека, причем пары должны состоят либо из мальчиков, либо из девочек. б) Сколько можно создать групп для дежурства, из двух мальчиков и одной девочки?

Решение. а) При решении этой задачи воспользуемся правилом сложения и формулой сочетания. Сначала посчитаем сколько пар можно создать из мальчиков (m₁) и из девочек (m₂), после найдем их сумму (m=m₁+m₂).

Чтобы определить сколько пар можно создать из 12 мальчиков воспользуемся формулой для подсчета числа сочетаний из 12 элементов по 2 элемента

Из девочек можно создать 78 различных пар. Тогда по два мальчика и по две девочки всего можно создать m=66+78=144 различных пар.

б) При решении этой задачи воспользуемся правилом умножения и формулой сочетания. В группе два мальчика и одна девочка. Сначала посчитаем сколькими способами можно выбрать из 12 мальчиков по два мальчика (m₁) и из 13 девочек одну девочку (m₂), затем перемножим полученные результаты (m=m₁•m₂).
Из 12 мальчиков 2 мальчика можно выбрать 66 различными способами. А из 13 девочек 1 девочку можно выбрать следующим образом:

Тогда группу из двух мальчиков и из одной девочки можно создать m=66•13=856 различными способами.

Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n-го порядка.

 

Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения: А – матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

 

Определение 1.2. Числа m и n называются размерностями матрицы.

 

Определение 1.3. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

 

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

 

Определение 1.4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

.

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

 

Примеры.

 

1. 2.

 

Определение 1.5. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

 

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

 

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

 

 

Примеры.

1.

2.

 

Определение1. 6. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением a`_ij = a_ji.

 

 

Понятие комплексного числа

Определение комплексного числа:

комплексное число - это упорядоченная пара действительных чисел.

Если каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, то каждому комплексному числу соответствует точка координатной плоскости.

Пример комплексного числа:

(2; 4), это упорядоченная пара действительных чисел.

Как понимать "упорядоченная"? В нашем примере (2; 4) на первом месте стоит 2, а на втором стоит 4. Если поменять местами эти числа, вот так (4; 2), то мы получаем другое число, которое не равно числу (2; 4).

Комплексное число (0; 0) называют комплексным нулём.

Равенство комплексных чисел

Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части соответственно:

(a; b) = (c; d), если a = c и b = d.

Доказательство.

-угол между

Вектор в системе координат

Базис-максимальная упорядоченная система линейно независимых векторов.

На плоскости 2 любых неколлинеарных вектора образуют базис.

ДПБ-базис, состоящий из ортогональных еденичных векторов.

Операции над векторами в координатной форме.

-нач.точка -кон.точка

направляющие косинусы

Замечание.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: при проведении элементарных преобразований не допускаются приближенные вычисления!

Рассмотрим еще один пример.

Пример.

Методом элементарных преобразований найдите ранг матрицы .

Решение.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А, так как элемент a_{1 1} равен нулю, а элемент a₂₁ отличен от нуля:

В полученной матрице элемент равен единице, поэтому не нужно производить умножение элементов первой строки на . Сделаем все элементы первого столбца, кроме первого, нулевыми:

Так первый столбец преобразован к нужному виду.

Элемент в полученной матрице отличен от нуля. Умножим элементы второй строки на :

Второй столбец полученной матрицы имеет нужный вид, так как элемент уже равен нулю.

Так как , а , то поменяем местами третий и четвертый столбцы:

Умножим третью строку полученной матрицы на :

На этом заканчиваем преобразования. Получаем Rank(A⁽⁵⁾)=3, следовательно, Rank(A)=3.

Ответ:

ранг исходной матрицы равен трем.

9. Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы.

Пояснения

Система уравнений разрешима тогда и только тогда, когда , где — расширенная матрица, полученная из матрицы приписыванием столбца ^[1].

Доказательство (условия совместности системы)[править | править вики-текст]

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмём в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисномминоре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Следствия

· Количество главных переменных системы равно рангу системы.

· Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

· Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

· Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

· Пример 1

· Решить однородную систему линейных уравнений

· Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

· (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

· (2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

· Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

· В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

· Ответ:

· Сформулируем очевидный критерий: однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение, если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

· Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

· Пример 2

· Решить однородную систему линейных уравнений

· Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока.

· Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы. И тогда неизбежно появление общего решения:

· Пример 3

· Решить однородную систему линейных уравнений

· Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:

· (1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.

· (2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.

· (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

· (4) У первой строки сменили знак.

· В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:

· Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем. Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, переменная , которой не досталось «ступеньки» – свободная.

· Выразим базисные переменные через свободную переменную:

· Ответ: общее решение:

· Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне.

· Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.

· На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощью фундаментальной системы решений. Пожалуйста, временно забудьте об аналитической геометрии, поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы и окончательно расписал на уроке о линейных преобразованиях. Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто:

· Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

· Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов , где – произвольные действительные числа.

· Количество векторов фундаментальной системы рассчитывается по формуле:

· Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.

· Представим общее решение Примера №3 в векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора . Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать и получить: .

· Координаты вектора должны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

· Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор (подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»).

· Ответ: общее решение: , где (любое вещественное число)

· Придавая параметру различные действительные значения, можно получить бесконечно много частных решений, например, если , то вектор частного решения однородного уравнения («Частное Однородной») равен:
, то есть набор переменных удовлетворяет каждому уравнению системы.