Линейные однородные дифференциальные уравнения с

произвольными коэффициентами

 

Рассмотрим уравнение вида .

 

Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

1)

2)

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

1) Если функция является решением уравнения, то функция , где С – постоянное число, также является его решением.

2) Если функции и являются решениями уравнения, то также является его решением.

Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

Определение. Если из функций составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале , то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений

,

где – постоянные коэффициенты.

Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

 

Общее решение линейного однородного дифференциального

Уравнения второго порядка

 

Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.

Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.

Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

Теорема. Если задано уравнение вида и известно одно ненулевое решение , то общее решение может быть найдено по формуле:

Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения.

 

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения с

Постоянными коэффициентами

 

Решение дифференциального уравнения вида или, короче, вида будем искать в виде , где k = const.

Так как то

При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

Для того чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

т.е.

Так как , то уравнение равносильно уравнению , которое называется характеристическим уравнением.

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения соответствует решение дифференциального уравнения.

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение ;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2 m решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пример. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение: Решая которое, находим:

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

Таким частным решением будет являться функция

Преобразуем исходное дифференциальное уравнение к виду:

Общее решение имеет вид:

Следовательно,

 

Окончательно находим:

Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение: Следовательно,

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: . Следовательно

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: Следовательно,

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: . Следовательно,

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: . Следовательно,

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: . Следовательно,

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему не применим.

Понизим порядок уравнения с помощью подстановки

Тогда

Окончательно получаем:

Это выражение даёт общее решение исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение получается из общего решения при .

Пример. Решить уравнение

Производим замену переменной: . Находим

Общее решение имеет вид: