Раздел 8. Дифференциальные уравнения

Раздел 8. Дифференциальные уравнения

Общая характеристика дифференциальных уравнений

Определение обыкновенного дифференциального уравнения

И дифференциального уравнения в частных производных

 

Решение различных геометрических, физических и экономических задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту или иную задачу, с некоторой функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

.

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S, т.е.

Тогда получаем: - уравнение связывающее функцию с независимой переменной t и производной второго порядка функции .

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, неизвестные функции и производные различных порядков от неизвестных функций по независимым переменным.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример. - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. Общий вид: .

- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. Общий вид:

- дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция одного или нескольких аргументов, которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

В дальнейшее будем рассматривать дифференциальные уравнения, содержащие неизвестную функцию одного независимого аргумента.

 

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

 

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее неизвестную функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. уравнение вида:

Если это уравнение преобразовать к виду , то полученное дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением, разрешенным относительно производной. Преобразуем это выражение далее:

Функцию представим в виде: Тогда при подстановке в полученное выше уравнение получим:

.

Левая часть этого выражения называется дифференциальной формой уравнения первого порядка.

 

Линейные дифференциальные уравнения

 

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть представлено в виде:

При этом, если правая часть уравнения равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением. Если правая часть уравнения не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Причём и являются непрерывными функциями на некотором промежутке .

Линейные однородные дифференциальные уравнения

 

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

.

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет трудностей:

;

Общее решение имеет вид:

 

Уравнение Бернулли

 

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Исходное уравнение делят на :

Используем подстановку, учитывая, что . Находим

; .

Получаем линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

, где

Пример. Решить уравнение

Разделим уравнение на :

Полагаем Находим:

.

Полагая будем иметь:

.

Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем Находим:

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Интегрируя обе части, получаем:

Полагая , подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, учитывая, что

Находим:

Получаем: Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

 

Уравнений первого порядка

 

Линия , являющаяся графиком функции, определяющей некоторое решение дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения

Производная называется угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.

В любой точке интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден до решения дифференциального уравнения.

Так как касательная указывает направление интегральной кривой до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить так называемое поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.

Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений.

Приведём следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения.

1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – означает задать поле направлений.

2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение означает найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.

Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.

 

8.3 Д ифференциальные уравнения высших порядков

 

Уравнения второго порядка

 

Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.

Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.

Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

Теорема. Если задано уравнение вида и известно одно ненулевое решение , то общее решение может быть найдено по формуле:

Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения.

 

 

Постоянными коэффициентами

 

Решение дифференциального уравнения вида или, короче, вида будем искать в виде , где k = const.

Так как то

При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

Для того чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

т.е.

Так как , то уравнение равносильно уравнению , которое называется характеристическим уравнением.

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения соответствует решение дифференциального уравнения.

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение ;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2 m решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пример. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение: Решая которое, находим:

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

Таким частным решением будет являться функция

Преобразуем исходное дифференциальное уравнение к виду:

Общее решение имеет вид:

Следовательно,

 

Окончательно находим:

Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение: Следовательно,

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: . Следовательно

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: Следовательно,

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: . Следовательно,

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: . Следовательно,

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид: . Следовательно,

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему не применим.

Понизим порядок уравнения с помощью подстановки

Тогда

Окончательно получаем:

Это выражение даёт общее решение исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение получается из общего решения при .

Пример. Решить уравнение

Производим замену переменной: . Находим

Общее решение имеет вид:

Раздел 8. Дифференциальные уравнения