Теорема о движении центра масс механической системы.

Вывод уравнения Лагранжа 2 рода.

Общее уравнение динамики сис. мат. точек в обобщённых координатах имеет вид: δq₁ (δ/ δt *(δT/ δq₁) – δT/ δq₁ -Q₁) + δq₂(δ/ δt - δT/ δq₂ – δT/ δq₂ – Q₂) + … + δq_S(δ/ δt - δT/ δq_S – δT/ δq_S - Q_S) = 0

Где q₁, q₂,…, q_S – обобщённые координаты, q₁, q₂,…, q_S - обобщённые скорости, δq_1, δq₂,…, δq_S - обобщённые возможные перемещения системы явл. вариациями соотвств. обобщ. координат,

Q₁, Q₂,…, Q_S - обобщ. силы системы, Т – кин. энергия системы. Т.к. δq_1, δq₂,…, δq_S в случае системы, подчиненной голомным связями, явл. независимыми обобщ. возможн. перемещ., то общ. ур–е динамики удовлетворяет лишь при условии, что коэф., стоящие при возможных перемещениях = 0, т.е.

δ/ δt *(δT/ δq₁) – δT/ δq₁ = Q₁ } – уравнение Лагранжа 2 рода.

δ/ δt *(δT/ δq₂) – δT/ δq₂ = Q₂ }

 

 

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с z угловой скоростью ω (рис). Вычислим кинети. момент этого тела относительно оси его вращения. Момент количества движения точки M_i тело относительно оси z: где L_iz = m_iυ_iz_i (a), r_i - радиус окружности описываемой точкой M_i; υ_i = r_i ω - алгебраическая величина вращательной скорости точки M_i. Подставляя в (а) это значение υ_i, получаем L_iz = m_ir_i²ω. Кинетический момент твердого тела относительно оси z: Здесь L_z = ∑ L_iz = ∑ m_ir_i²ω = ω∑ m_ir_i², ∑ m_ir_i² = J_z - момент инерции твёрдого тела относительно оси z. Таким образом,

L_z = J_zω (в) т.е. кинет. момент вращающегося тела относительно неподвижной оси его вращения = произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела.

Рассмотри изменение кинет. момента тела относительно оси z под действием приложенных к нему задаваемых внешних сил P₁^E, P₂^E,…, P_n^E

Теорема об изменении кинет. момент мех. сис. выражается уравнением:

dL_z /dt = ∑ M_iz^E (г). Реакции подшипника В и подпятника А явл. внешними силами, но при отсутствии трения их моменты относительно оси z = 0 и правая часть уравнения (г) содержит только сумму моментов задаваемых внешних сил. При наличии трения эта сумма содержит также момент сил трения. Так как по (в): L_z = J_zω = J_zφ, то dL_z/dt = J_zφ, а потом уравнение (г)принимает вид: J_zφ = ∑ M_iz^E (е). Уравнение (е)представляет собой диф. уравн. вращения тв. тела вокруг неподвижной оси.

 

 

Динамические давления в гироскопе.

Пользуясь теоремой Резаля и формулой u = L_cω₁ = J _ζωω₁, получаем

M_C^E = u = J_ζωω_1, тогда динамические реакции подшипников

R_A^дин = R_B^дин = J_ζωω₁/AB

Давление рамы на подшипники противоположны по направлению соответсвующим реакциям подшипников и равны им по модулю.

P_A^дин = -R_A^дин; P_B^дин = -R_B^дин; P_A^дин = P_B^дин = J_ζωω₁/AB

Диф. уравнение движения свобод. мат. точ. в декарт.

mx = ∑ P_кx }; my =∑ P_кy }; mz =∑ P_кz }

Естественные уравнения движения мат. точки.

0 = ∑ P_ко

md²s/ dt² = ∑ P_i cos (P_i, τ);

mυ²/ρ = ∑ P_i cos (P_i, n).

Диф. уравнение свободных колебаний мат. т. и уравнение гармон. колебательного движения точки.

x + k²x = 0 - Диф. уравнение свободных колебаний мат.

x = A sin(kt+β) - уравнение гармон. колебательного движения точки.

Амплитуда и т.д для свободных колебаний.

A = √x²_o + (x₀/k)².

Диф. уравнение затухающих колебаний.

x + 2nx + k²x = 0 - Диф. уравнение.

x = Ae^-nt sin (√k² – n²t + β);

x = Ae^-ntsh (√n² – k²t + β) – апериодическое уравнение.

Период затухающих колебаний, декремент и т.д.

T* = T/√1 – (n/k)²;

e^-nT*/2 – декремент, -nT*/2 – логарифмич. декрмент.

n = α/2m – коэф. затухания. k* = √k² – n²

Диф. уравнение вынужден. кол.

x + k²x = hsin (pt + δ)

Амплитуда и фаза вынуж. кол.

p<k, pt + δ – фаза

A_B = h/(k² – p²)

p>k, pt + δ – π

A_B = h/(p² – k²).

Движение при резонансе.

x + k²x = h sin (kt + δ),

или x = C₁ cos kt + C₂ sin kt - h/(2k)*t cos (kt + δ).

Основное уравнение динамики относительного движения.

mā_r = ∑P_i + Ф_е + Ф_с

Принцип относительности.

Никакие механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить её прямолинейного и равномерного поступательного движения.

Формулы, определяющие центр масс системы.

x_c = ∑m_ix_i/m, y_c = ∑m=y_i/m, z_c = ∑m_iz_i/m

Моменты инерции твёрдого тела.

Моментом инерции твёрдого тела относительно плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до плоскости.

J_yOz = ∑m_ix_i²; J_zOx = ∑m_iy_i²; J_xOy = ∑m_iz_i².

Моментом инерции твёрдого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси.

J_x = ∑m_i (y_i² + z_i²); J_y = ∑m_i (z_i² + x_i²); J_z = ∑m_i(x_i² + y_i²).

Моментом инерции твёрдого тела относительно полюса (полярным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от точки до этого полюса.

J_o = ∑m_ir_i² = ∑m_i (x_i² + y_i² + z_i²).

Радиус инерции.

Момент инерции твёрдого тела относительно заданной оси, например

оси z, можно представить в виде произведения массы тела на квадрат линейной величины, называемой радиусом инерции тела относительно этой оси: Jz = mi_z², где m – масса тела, i_z² – радиус инерции относительно оси z.

Момент инерции стержня и диска.

Определим момент инерции однородного тонкого стержня относительно оси Сy, проходящей через центр масс стержня.

J_Cy = ml²/12.

Момент инерции диска:

J_Cz = mR²/2, J_Cx = J_Cy = mR²/4.

Дать понятие импульса постоянной и переменной силы.

Если постоянная по модулю и направлению сила Р действует на тело за промежуток времени τ = t₂ – t₁, то её импульсом за этот промежуток времени является вектор Š = Pτ.

Чтобы найти импульс переменной силы P = P(t) за промежуток времени

t₂ – t₁ этот промежуток разбивает на n элементарных промежутков Δt_к и определяют элементарных импульсов сила за эти промежутки. ΔŠ_к = Р_кΔt_к

Импульс равнодействующей сил.

Š = Š₁ + Š₂ +…+ Š_n

в проекциях Š_x = Š_1x + Š_2x +…+ Š_nx

Š_z, Š_y =…………………..

Теорема об изменении количества движения в конечной и диф. форме.

ma = mdυ/dt = d(mυ)/dt =P - в диф. форме.

mυ₂ – mυ₁ = ∑ Š_i – в кон. форме.

Количество движения мех. системы.

Количеством движения мех. сис. наз. вектор, равный геометр. сумме (главному вектору) количеств движения всех мат. точ. этой сис.

K = ∑m_iυ_i

Закон сохранения количеств движения системы.

Если внешие силы отсутствуют или главный вектор внешних сил, действующих на мех. сист. равен 0, то кол –во движения мех. сис. остаётся постоянны по модулю и направлению и равным своему нач. знач.

Момент колич. движения мат. т. относительно центра.

Моментом кол. движ. mυ мат. точки М относительно неподвижного центра О называется вектор l_o = mυh, где h – плечо вектора mυ относительно центра О.

Моментом количества движения мех. сис. относительно даного центра О называется векторная величина L_o, = геометр. сумме моментов количеств движения всех мат. т. системы относительно центра О: L_o = ∑m₀(m_kυ_k) =

= ∑r_k m_kυ_k

Закон сохранения кинетического момента мех. сис.

закон сохранения кинетич. момента сис. относительно центра:

если главный момент внешних сил, действующих на сис. относительно неподвиж.центра = 0, то кин. момент системы относительно неподвижного центра остаётся постоянным по модулю и направлению.

Диф. уравн. поступ. движ. тв. тела.

mx_c = ∑X_i^E = X^E; my_c = ∑ Y_i^E = Y^E; mz_c = ∑Z_i^E = Z^E.

Диф. уравн. плоского движения.

mx_c = ∑X_i^E = X^E; my_c = ∑ Y_i^E = Y^E; dL_ζr/dt = ∑M_iζ^E = M_ζ^E, где L_ζr – кинет. мом. тела относительно оси ζ.

Мощность силы.

Отношение работы произведённой силой F к приложенному промежутку времени наз. мощностью: W = dA/dt = F*dr/dt = Fυ; т.е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости.

Как определяется работы силы тяжести, кода она больше или меньше 0

A = ± mgh или A = mg(z₀ – z₁). Работа силы тяжести положительна, если начальное положение точки выше конечного, и отрицательна в противоположном случае.

Работа сил упругости.

A = -c/2*(x₁² – x₀²). Работа силы упругости будет положительна, когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательная, когда конец пружины удаляется от равновесного положения.

Теорема об изменении кин. энергии мат. точки в кон. и диф. форме.

mυ₂²/2 – mυ₁²/2 = ∑A_i – кон. форма. Изменение кинетической энергии мат. точки на некотором её перемещении = алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на этом перемещении.

d(mυ²/2) = ∑δA_i – дифференциал кин. энерг. м. т. равен сумме элементарных работ сил, приложенных к точке.

Работа внутренних сил, приложенных к твёрдому телу.

Сумма работ твердого тела на любом его перемещении равна 0.

A^J = 0.

Кинет. энергия мат. точ. и мех. сист.

Кинетическая энергия мат. точ. равна половиен произведения массы точки на квадрат её скорости: T=1/2*mυ²;

Кинет. энер. мех. сис. равна сумме кинет. энергий всех мат. точ. системы: T =∑T_к = 1/2*∑m_к υ_к²

Формулы определяющие кин. энер. т.тела при пост, вращ, и плос. движ

Пост. движ. – T = 1/2* mυ².

Вращ. вокруг неподвижной оси. – T = 1/2*J_zω².

Плоское – T =1/2* mυ­_c² + 1/2*J_czω².

Главный вектор и гл. момент.

∑ Ф_i = Ф* Главный вектор

∑ M_io Ф = М_о^Ф

Карно.

Кинетическая энергия потерянная телами при упругом ударе равна кинетической энергии тел, соответствующей их потерянным скоростям.

Теория героскопа.

M_r = - M_c^E

Теорема Резаля.

Скорость конца вектора кинетического момента мх. сис. относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту сис. относительно того же центра.

 

 

Теорема о движении центра масс механической системы.

Рассмотрим движущуюся систему мат. точек М₁, М₂, М_i, M_n, находящихся под действием внешних и внутренних сил (рис). Положение центра масс системы С определяется равенством

r_c = ∑m_ir_i/m. Уравнения движения точек этой системы имеют вид

m_i d²r_i/dt² = P_i^E + P_i^J; (i = 1, 2, …, n), суммируем эти уравнения:

∑m_i d²r_i/dt² =∑ P_i^E + ∑ P_i^J (а). Преобразуем левую часть равенства, учитывая (r_c = ∑m_ir_i/m) получаем: ∑m_i d²r_i/dt² = d²/dt² * ∑m_i r_i = d²/dt² * (mr_c) = md²r_c/dt². Геометрическая сумма внутренних сил равна 0. Уравнение (а) приобретает вид: md²r_c/dt² = ∑P_i^E = R^E или

ma_C = ∑ P_i^E = R^E (в). т.е. произведение массы системы на ускорение её центра масс = геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил. Уравнение (в) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: Центр масс мех. сис. движется как мат. точ. массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы действующие на систему.

Проецируя на оси x, y, z – mx_C = ∑ X_i^E = X^E

 

 

2. Теорема о моментах инерции твёрдого тела относительно параллельных осей.

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси проходящей через его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. Допустим, что задана ось Oz₁. Для доказательства теоремы проведём через центр масс тела С три взаимно перпендикулярные оси, из которых ось Сz параллельна заданной оси Oz₁, а ось Су лежит в плоскости параллельных осей Сz и Oz₁ (рис а, в). Обозначим d – расстояние между осями Cz и Oz₁. для вычисления моментов инерции тела относительно осей Cz и Oz₁ опустим из каждой точки M_i рассматриваемого тела перпендикуляры r_i и h_i на оси Cz и Oz₁. Выразим длины этих перпендикуляров через координаты этих точек:

r_i² = x_i² + y_i², h_i² = x_i² + (y_i – d)² = x_i² + y_i² + d² – 2y_id = r_i² + d² – 2y_id. (a)

Определим моменты инерции тела относительно осей Cz и Oz₁:

J_Cz = ∑ m_ir_i², J_z1 = ∑ m_ih_i².

Применив зависимость (а): J_z1 = ∑ m_ir_i² + ∑ m_id² – 2∑m_iy_id. (в)

Здесь ∑ m_i = m. – масса тела. Из формулы y_c = ∑ m_iy_i/m, получим:

∑ m_iy_i = my_c, так как y_c = 0, то ∑m_iy_i = 0. Подставляя это значение в равенство (в), получаем зависимость, установленную теоремой:

J_z1 = J_cz + md². (г). Формула (г) показывает, что из совокупности паралельных осей ось, проходящая через центр масс тела, характеризуется наименьшим моментом инерции. Полярный момент тв. тела относительно центра масс: J_c = ½ * (J_cx + J_cy + J_cz). Отсюда следут, что ценр масс тела явл. полюсом, относительно которго полярный момент инерции тела имеет наименьшее возможное значение.

Воспользуемся формулой (г) для установления зависимости между радиусами инерции твёрдого тела i_cz и i_z1 относительно осей Cz и Oz_1.

J_z1 = mi_z1², J_cz = mi_cz², тогда mi_z1² = m_cz² + md², откуда i_z1² = i_cz² + d².

 

 

3. Теорема об изменении количества движения механической системы.

Изменение количества движения мех. сис. за некотрый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил приложенных к системе за тотже промежуток времени.

K = ∑ m_кυ_к; K = ∑ m_кdr_к/dt = d/dt * ∑m_кr_к = d/dt * mr_c = mdr_c/dt = mυ_c => K = mυ_c. Найдём призводную: dK/dt = d(mυ_c)/dt = mdυ_c/dt = ma_c

Но из теоремы о движении ценра масс мех. сис. ma_c = R^E = ∑ P_к^E; dK/dt = ∑ P_к^E. Проинтегрируем это выражение: ∫_к1^к2 dK = ∫_t1^t2∑P_к^Edt;

k₂-k₁=∑S_к^E – ч.т.д.

 

 

6. Теорема о работе силы.

Работа постоянной по модулю и направлению силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Предположим, что точка приложения постоянной по модулю и напрвлению силы Р получает совокупность последовательных перемещений u₁, u₂, …, u_n (рис выполнен для n = 3). Результирующее перемещение точки М: u = u₁ + u₂ +…+u_n. Работа силы Р на этом перемещении определяется по формуле: A = Pu = P(u₁ + u₂ +…+u_n). полученная сумма представляет собой сумму работ силы на составляющих перемещениях. Т.о., A = A₁ + A₂+…+ A_n.

На основании этой теоремы при вычислении работы постоянной силы на криволинейном перемещении криволинейное перемещение можно заменить прямолинейным. При u = 0, т.е. в случае замкнутого контура, работа постоянной силы = 0.

u₂ M₂

M₁

u₃

М

u₁ P

M₃

u

 

8. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Установим зависимость между изменением кинет. энергии мех. сис. и работой приложенных к её точкам сил. Для этого разделим силы.действующие на точки М_1, М_2, М₃, …, М_n, на внешние силы P₁^E_, Р₂^Е, …, Р_i^E, …, Р_n^Е и внутрение силы P₁^J, P₂^J, P_i^J, …, P_n^J. Применим к движению каждой точки М_i теорему об изменении кинетической энергии. Предположим, что при перемещении механической системы из первого положения во второе каждая точка М_i перемещается из М_i(1) в M_i(2), причём скорость её изменяется от υ_i(1) до v_i(2) (рис.).

Тогда по уравнению mυ₂²/2 – mυ₁²/2 = ∑ A_i для каждой материальной точки

(m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) – (m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) = A_i^E + A_i^J_, (i = 1, 2, …, n),

где A_i^E - работа силы Р_i^E и A_i^J _­- работа силы P_i^J на перемещении М_i(1) M_i(2). Просумируем левые и правые части составленных n равенства: (∑(m_i^υ2_i / 2))₂ – (∑(m_i­­υ_i² / 2))₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J.

Согласно T = ∑T_i, (∑(m_iυ_i² / 2)) = T₁ – кинетическая энергия системы в первом её положении; (∑(m_iυ_i² / 2))₂ = T₂ – кинетическая энергия системы во втором положении. Таким образом,

T₂ - T₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J. (a)

Уравнение (a) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутрених сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещение.

Cумма работ внутрених сил твёрдого тела на любом перемещении равна нулю, т.е. ∑A_i^J = 0.

Для твёрдого тела уравнение (a) принимает вид

T₂ - T₁ = ∑A_i^E,

т.е. изменение кинетической энергии твёрдого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении.

υ_i(2)

M_i(2)

Mi

υ_i(1) P_i^J

 

P_i^E

 

M_i(1)

 

 

9. Определение динамических реакции при вращении тв. тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим тв. тело под действием приложенных к нему внешних сил Р₁^Е, Р₂^Е,…, Р_n^E. Предположим, что в рассматриваемый момент тело имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε. Чтобы воспользоваться принципом Даламбера, приложим к каждой точке тела М_к силу инерции Ф_к. При неравномерном вращении эта сила состоит из Ф_к^ω – вращ. и Ф_к^ε – центроб. состояния силы инерции. Применим принцип освобождения от связей, заменим действие на тело подпятника А и подшипника В реакции. На основании принципа Даламбера все силы должны удовлетворять уравнению:

P^E + R_A + R_B + Ф^A = 0,

M_A^E + M_A^RA + M_A^RB + M_A^ФA = 0

Или спроецируем на оси координат: получим новую систему линейных уравнений:

∑ x_к^E + x_A + x_B + ∑ P_кx = 0

∑ y_к^E + y_A + y_B + ∑ Ф_кy = 0

∑ z_к^E + z_A = 0

∑ M_кx^E – y_Bh + ∑ M^Ф_кx = 0

∑ M_кy^E + x_Bh + ∑ M^Ф_кy = 0

∑ M_кz^E + ∑ M_к^Ф = 0

 

 

10. Вывод общего уравнения динамики.

Если система получит возможное помещение при котором каждая точка имеет возможное перемещение δS_к, то сумма работ этих сил на перемещении δS_к должна быть равна 0.

Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + Rk δS_к cos(Rk, δS_к) + Фк δS_к cos(Фк, δS_к) = 0,

(k = 1, 2, …, n). Просуммируем все n уравнения:

∑ Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + ∑ Rk δS_к cos(Rk, δS_к) + ∑ Фк δS_к cos(Фк, δS_к) = 0

Положим, что связи в рассматриваемой мех. сис. двухстороннеидеальные тогда ∑ работ рекции связи = 0, тогда

∑ Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + ∑ Фк δS_к cos(Фк, δS_к) =0