Вывод уравнения Лагранжа 2 рода.

Общее уравнение динамики сис. мат. точек в обобщённых координатах имеет вид: δq₁ (δ/ δt *(δT/ δq₁) – δT/ δq₁ -Q₁) + δq₂(δ/ δt - δT/ δq₂ – δT/ δq₂ – Q₂) + … + δq_S(δ/ δt - δT/ δq_S – δT/ δq_S - Q_S) = 0

Где q₁, q₂,…, q_S – обобщённые координаты, q₁, q₂,…, q_S - обобщённые скорости, δq_1, δq₂,…, δq_S - обобщённые возможные перемещения системы явл. вариациями соотвств. обобщ. координат,

Q₁, Q₂,…, Q_S - обобщ. силы системы, Т – кин. энергия системы. Т.к. δq_1, δq₂,…, δq_S в случае системы, подчиненной голомным связями, явл. независимыми обобщ. возможн. перемещ., то общ. ур–е динамики удовлетворяет лишь при условии, что коэф., стоящие при возможных перемещениях = 0, т.е.

δ/ δt *(δT/ δq₁) – δT/ δq₁ = Q₁ } – уравнение Лагранжа 2 рода.

δ/ δt *(δT/ δq₂) – δT/ δq₂ = Q₂ }

 

 

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с z угловой скоростью ω (рис). Вычислим кинети. момент этого тела относительно оси его вращения. Момент количества движения точки M_i тело относительно оси z: где L_iz = m_iυ_iz_i (a), r_i - радиус окружности описываемой точкой M_i; υ_i = r_i ω - алгебраическая величина вращательной скорости точки M_i. Подставляя в (а) это значение υ_i, получаем L_iz = m_ir_i²ω. Кинетический момент твердого тела относительно оси z: Здесь L_z = ∑ L_iz = ∑ m_ir_i²ω = ω∑ m_ir_i², ∑ m_ir_i² = J_z - момент инерции твёрдого тела относительно оси z. Таким образом,

L_z = J_zω (в) т.е. кинет. момент вращающегося тела относительно неподвижной оси его вращения = произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела.

Рассмотри изменение кинет. момента тела относительно оси z под действием приложенных к нему задаваемых внешних сил P₁^E, P₂^E,…, P_n^E

Теорема об изменении кинет. момент мех. сис. выражается уравнением:

dL_z /dt = ∑ M_iz^E (г). Реакции подшипника В и подпятника А явл. внешними силами, но при отсутствии трения их моменты относительно оси z = 0 и правая часть уравнения (г) содержит только сумму моментов задаваемых внешних сил. При наличии трения эта сумма содержит также момент сил трения. Так как по (в): L_z = J_zω = J_zφ, то dL_z/dt = J_zφ, а потом уравнение (г)принимает вид: J_zφ = ∑ M_iz^E (е). Уравнение (е)представляет собой диф. уравн. вращения тв. тела вокруг неподвижной оси.

 

 

Динамические давления в гироскопе.

Пользуясь теоремой Резаля и формулой u = L_cω₁ = J _ζωω₁, получаем

M_C^E = u = J_ζωω_1, тогда динамические реакции подшипников

R_A^дин = R_B^дин = J_ζωω₁/AB

Давление рамы на подшипники противоположны по направлению соответсвующим реакциям подшипников и равны им по модулю.

P_A^дин = -R_A^дин; P_B^дин = -R_B^дин; P_A^дин = P_B^дин = J_ζωω₁/AB

Диф. уравнение движения свобод. мат. точ. в декарт.

mx = ∑ P_кx }; my =∑ P_кy }; mz =∑ P_кz }

Естественные уравнения движения мат. точки.

0 = ∑ P_ко

md²s/ dt² = ∑ P_i cos (P_i, τ);

mυ²/ρ = ∑ P_i cos (P_i, n).

Диф. уравнение свободных колебаний мат. т. и уравнение гармон. колебательного движения точки.

x + k²x = 0 - Диф. уравнение свободных колебаний мат.

x = A sin(kt+β) - уравнение гармон. колебательного движения точки.

Амплитуда и т.д для свободных колебаний.

A = √x²_o + (x₀/k)².

Диф. уравнение затухающих колебаний.

x + 2nx + k²x = 0 - Диф. уравнение.

x = Ae^-nt sin (√k² – n²t + β);

x = Ae^-ntsh (√n² – k²t + β) – апериодическое уравнение.

Период затухающих колебаний, декремент и т.д.

T* = T/√1 – (n/k)²;

e^-nT*/2 – декремент, -nT*/2 – логарифмич. декрмент.

n = α/2m – коэф. затухания. k* = √k² – n²

Диф. уравнение вынужден. кол.

x + k²x = hsin (pt + δ)

Амплитуда и фаза вынуж. кол.

p<k, pt + δ – фаза

A_B = h/(k² – p²)

p>k, pt + δ – π

A_B = h/(p² – k²).

Движение при резонансе.

x + k²x = h sin (kt + δ),

или x = C₁ cos kt + C₂ sin kt - h/(2k)*t cos (kt + δ).

Основное уравнение динамики относительного движения.

mā_r = ∑P_i + Ф_е + Ф_с

Принцип относительности.

Никакие механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить её прямолинейного и равномерного поступательного движения.

Формулы, определяющие центр масс системы.

x_c = ∑m_ix_i/m, y_c = ∑m=y_i/m, z_c = ∑m_iz_i/m

Моменты инерции твёрдого тела.

Моментом инерции твёрдого тела относительно плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до плоскости.

J_yOz = ∑m_ix_i²; J_zOx = ∑m_iy_i²; J_xOy = ∑m_iz_i².

Моментом инерции твёрдого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси.

J_x = ∑m_i (y_i² + z_i²); J_y = ∑m_i (z_i² + x_i²); J_z = ∑m_i(x_i² + y_i²).

Моментом инерции твёрдого тела относительно полюса (полярным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от точки до этого полюса.

J_o = ∑m_ir_i² = ∑m_i (x_i² + y_i² + z_i²).

Радиус инерции.

Момент инерции твёрдого тела относительно заданной оси, например

оси z, можно представить в виде произведения массы тела на квадрат линейной величины, называемой радиусом инерции тела относительно этой оси: Jz = mi_z², где m – масса тела, i_z² – радиус инерции относительно оси z.

Момент инерции стержня и диска.

Определим момент инерции однородного тонкого стержня относительно оси Сy, проходящей через центр масс стержня.

J_Cy = ml²/12.

Момент инерции диска:

J_Cz = mR²/2, J_Cx = J_Cy = mR²/4.

Дать понятие импульса постоянной и переменной силы.

Если постоянная по модулю и направлению сила Р действует на тело за промежуток времени τ = t₂ – t₁, то её импульсом за этот промежуток времени является вектор Š = Pτ.

Чтобы найти импульс переменной силы P = P(t) за промежуток времени

t₂ – t₁ этот промежуток разбивает на n элементарных промежутков Δt_к и определяют элементарных импульсов сила за эти промежутки. ΔŠ_к = Р_кΔt_к

Импульс равнодействующей сил.

Š = Š₁ + Š₂ +…+ Š_n

в проекциях Š_x = Š_1x + Š_2x +…+ Š_nx

Š_z, Š_y =…………………..

Теорема об изменении количества движения в конечной и диф. форме.

ma = mdυ/dt = d(mυ)/dt =P - в диф. форме.

mυ₂ – mυ₁ = ∑ Š_i – в кон. форме.

Количество движения мех. системы.

Количеством движения мех. сис. наз. вектор, равный геометр. сумме (главному вектору) количеств движения всех мат. точ. этой сис.

K = ∑m_iυ_i

Закон сохранения количеств движения системы.

Если внешие силы отсутствуют или главный вектор внешних сил, действующих на мех. сист. равен 0, то кол –во движения мех. сис. остаётся постоянны по модулю и направлению и равным своему нач. знач.

Момент колич. движения мат. т. относительно центра.

Моментом кол. движ. mυ мат. точки М относительно неподвижного центра О называется вектор l_o = mυh, где h – плечо вектора mυ относительно центра О.

Моментом количества движения мех. сис. относительно даного центра О называется векторная величина L_o, = геометр. сумме моментов количеств движения всех мат. т. системы относительно центра О: L_o = ∑m₀(m_kυ_k) =

= ∑r_k m_kυ_k

Закон сохранения кинетического момента мех. сис.

закон сохранения кинетич. момента сис. относительно центра:

если главный момент внешних сил, действующих на сис. относительно неподвиж.центра = 0, то кин. момент системы относительно неподвижного центра остаётся постоянным по модулю и направлению.

Диф. уравн. поступ. движ. тв. тела.

mx_c = ∑X_i^E = X^E; my_c = ∑ Y_i^E = Y^E; mz_c = ∑Z_i^E = Z^E.

Диф. уравн. плоского движения.

mx_c = ∑X_i^E = X^E; my_c = ∑ Y_i^E = Y^E; dL_ζr/dt = ∑M_iζ^E = M_ζ^E, где L_ζr – кинет. мом. тела относительно оси ζ.

Мощность силы.

Отношение работы произведённой силой F к приложенному промежутку времени наз. мощностью: W = dA/dt = F*dr/dt = Fυ; т.е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости.

Как определяется работы силы тяжести, кода она больше или меньше 0

A = ± mgh или A = mg(z₀ – z₁). Работа силы тяжести положительна, если начальное положение точки выше конечного, и отрицательна в противоположном случае.

Работа сил упругости.

A = -c/2*(x₁² – x₀²). Работа силы упругости будет положительна, когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательная, когда конец пружины удаляется от равновесного положения.

Теорема об изменении кин. энергии мат. точки в кон. и диф. форме.

mυ₂²/2 – mυ₁²/2 = ∑A_i – кон. форма. Изменение кинетической энергии мат. точки на некотором её перемещении = алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на этом перемещении.

d(mυ²/2) = ∑δA_i – дифференциал кин. энерг. м. т. равен сумме элементарных работ сил, приложенных к точке.

Работа внутренних сил, приложенных к твёрдому телу.

Сумма работ твердого тела на любом его перемещении равна 0.

A^J = 0.

Кинет. энергия мат. точ. и мех. сист.

Кинетическая энергия мат. точ. равна половиен произведения массы точки на квадрат её скорости: T=1/2*mυ²;

Кинет. энер. мех. сис. равна сумме кинет. энергий всех мат. точ. системы: T =∑T_к = 1/2*∑m_к υ_к²

Формулы определяющие кин. энер. т.тела при пост, вращ, и плос. движ

Пост. движ. – T = 1/2* mυ².

Вращ. вокруг неподвижной оси. – T = 1/2*J_zω².

Плоское – T =1/2* mυ­_c² + 1/2*J_czω².