Раздел 6. Нелинейные системы

6.1. Основные понятия и определения

Изучаемые вопросы:

· Основные понятия и определения;

· Методы линеаризации;

· Исследования нелинейных систем

 

Строго говоря, линейных систем в природе не существует, так как характеристики реальных устройств нелинейные и некоторые из них не могут быть линеаризованы, например, характеристика логического элемента. Кроме того, есть системы, например, релейные, адаптивные, в которых принципиально необходимо учитывать нелинейности.

Нелинейной системой называется такая система, в состав которой входит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. Такое звено называется нелинейным звеном или нелинейным элементом.

Уравнение является нелинейным, если некоторые координаты или их производные по времени входят в уравнение в виде произведений или степени, отличной от первой, а также если коэффициенты уравнения являются функциями некоторых координат или их производных.

При составлении дифференциальных уравнений нелинейных систем сначала составляют дифференциальные уравнения для каждого устройства системы. При этом характеристики устройств, допускающих линеаризацию, линеаризуются. В результате получают систему дифференциальных уравнений, в которой одно или несколько уравнений нелинейные. Устройства, допускающие линеаризацию, образуют линейную часть системы, а устройства, которые не могут быть линеаризованы, составляют нелинейную часть.

Путем эквивалентного преобразования структурных схем и нелинейных звеньев большое число нелинейных систем можно представить в виде замкнутого контура с последовательным включением нелинейного элемента (НЭ) и линейной части (ЛЧ), как показано на рис. 6.1.

Рис. 6.1

На рисунке 6.1 приняты следующие обозначения: НЭ - нелинейный элемент; ЛЧ - линейная часть.

Классификация нелинейных элементов и систем. Нелинейные звенья классифицируются по различным признакам. Наибольшее распространение получила классификация по статическим и динамическим характеристикам, так как в системах чаще всего нелинейности приходится учитывать в виде характеристик. Эти характеристики могут быть как однозначными, так и двузначными (петлевыми), симметричными и несимметричными относительно начала координат.

Различают следующие основные типы нелинейных звеньев.

Нелинейные звенья с гладкими криволинейными характеристиками. Примеры таких характеристик приведены на рис. 6.2.

 

 

Рис. 6.2

 

На рис. 6.2, а изображена двузначная гистерезисная (запаздывающая) характеристика. Характеристика (рис. 6.2, б) отображает насыщение или ограничение и соответствует реальному амплитудному усилителю, а характеристика (рис. 6.2, в) - реальному усилителю мощности. Характеристики (рис. 6.2, а и б) -нечетно-симметричные, а характеристика (рис. 6.2, в) - четно-симметричная.

Нелинейные звенья с кусочно-линейными характеристиками. Некоторые из таких характеристик представлены на рис. 6.3.

 

 

Рис. 6.3

 

Характеристика (рис. 6.3, а) отображает насыщение, характеристика (рис. 6.3, б) - зону нечувствительности, а характеристика (рис. 6.3, в) соответствует звену, обладающему одновременно зоной нечувствительности и насыщением. Характеристика (рис. 6.3, г) позволяет учесть люфт или зазор кинематической передачи.

Релейные звенья - это элементы, которые на своем выходе выдают конечное число фиксированных значений. Три наиболее типовые релейные характеристики изображены на рис. 6.4.

 

Рис. 6.4. Релейные характеристики:

 

Характеристика (рис. 6.4, а) соответствует идеальному двухпозиционному реле, характеристика (рис. 6.4, б) - трехпозиционному реле с зоной нечувствительности, а характеристика (рис. 6.4, в) - двухпозиционному поляризованному реле.

Кроме того, на рис. 6.4 показано прохождение непрерывного сигнала через соответствующие типы реле. Откуда следует, что коэффициент передачи реле зависит от величины входного воздействия.

Для улучшения динамических свойств систем специально созданы нелинейные звенья с опережающими двузначными статическими характеристиками.

Часто встречаются элементы с несимметричными относительно начала координат статическими характеристиками.

Нелинейные вычислительные звенья, например, множительное, логическое звено и другие.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые - в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Нелинейные системы обычно классифицируются в соответствии с видом входящих в них нелинейных звеньев.

Особенности нелинейных систем. Поведение нелинейных систем, при наличии существенных нелинейностей, значительно отличается от поведения их линейных моделей.

1. Выходная величина нелинейной системы непропорциональна входному воздействию; форма реакции системы зависит от величины входного воздействия.

2. Характер процессов в нелинейной системе зависит от величины начального отклонения, вызванного возмущением. В связи с этим для нелинейных систем существуют понятия об устойчивости “в малом”, “в большом”, “в целом”.

Система устойчива “в малом”, если она устойчива при малых (бесконечно малых) начальных отклонениях. Система устойчива “в большом”, если она устойчива при больших (конечных по величине) начальных отклонениях. Система устойчива “в целом”, если она устойчива при любых больших (неограниченных по величине) начальных отклонениях.

3. Для нелинейных систем характерен режим незатухающих периодических колебаний с постоянной амплитудой и частотой (автоколебаний), возникающий в системах при отсутствии периодических внешних воздействий.

4. При затухающих колебаниях переходного процесса в нелинейных системах происходит изменение периода колебаний.

Основные задачи исследования нелинейных систем. Методы исследования. Задачами исследования нелинейных систем являются:

1) отыскание возможных состояний равновесия системы и исследование их устойчивости;

2) определение автоколебаний и анализ их устойчивости;

3) исследование процессов перехода системы к тому или иному установившемуся состоянию при различных начальных отклонениях.

Начало исследования нелинейных систем обычно связано с рассмотрением устойчивости и определением автоколебаний.

В настоящее время не создано общей теории анализа нелинейных систем. Разработанные методы позволяют решать лишь отдельные нелинейные задачи.

Все инженерные методы исследования нелинейных систем разделяются на две основные группы.

Точные методы, например, метод А.М.Ляпунова, метод фазовой плоскости, метод точечных преобразований, частотный метод В.М.Попова, основаны на точном решении нелинейного дифференциального уравнения, может быть и упрощенного.

Приближенные методы, такие как метод гармонической линеаризации, метод статистической линеаризации, основаны на линеаризации нелинейного уравнения системы.

Мощным и эффективным методом исследования нелинейных систем является моделирование, инструментарием которого служит компьютер. В настоящее время многие сложные для аналитического решения теоретические и практические вопросы сравнительно легко могут быть решены с помощью вычислительной техники.

Прямой метод Ляпунова

 

Наиболее общие результаты по исследованию устойчивости нелинейных систем могут быть получены по методу А.М. Ляпунова.

При использовании прямого метода Ляпунова, именуемого также второй методой Ляпунова, исследуемая система описывается дифференциальными уравнениями в форме уравнений первого порядка, полагая, что они записаны для переходного процесса в отклонениях всех переменных x_i (i = 1, 2,..., n) от их значений в установившемся процессе при новых постоянных значениях возмущающего f = f₀ и задающего g = g₀ воздействий. Следовательно, эти уравнения для нелинейной системы n-го порядка будут:

при i = 1, 2,..., n, (6.1)

где F_i - нелинейные функции произвольного вида, удовлетворяющие условию

F₁ = F₂ =... = F_n = 0 при x₁ = x₂ =... = x_n = 0, (6.2)

так как в установившемся состоянии все отклонения и их производные равны нулю.

Чтобы исследовать устойчивость по Ляпунову, необходимо подобрать некоторую знакоопределенную функцию V и вычислить производную по времени от этой функции.

Функция V называется знакоопределеннойв некоторой области, если она во всех точках этой области в окрестности начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме начала координат.

Функция V называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.

Функция Ляпунова и ее производная по времени. Любая функция

V = V(x₁, x₂,..., x_n ), (6.3)

тождественно обращающаяся в нуль при x₁ = x₂ =... = x_n = 0, называется функцией Ляпунова, если в ней в качестве x₁, x₂,..., x_n взяты переменные, в которых записаны уравнения (6.1) для этой системы.

Производная от функции Ляпунова (6.3) по времени будет

 

(6.4)

Подставив значения (i = 1, 2,..., n) из уравнений системы (2.1), получим

(6.5)

Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама V, является функцией координат системы

(6.6)

причем согласно свойству (6.2) эта функция W, так же как и сама V, тождественно обращается в нуль при x₁ = x₂ =... = x_n = 0. Поэтому к ней в одинаковой степени можно применять те же понятия знакоопределенности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторой области вокруг начала координат.

Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем: если при заданных в форме (6.1) уравнениях системы n -го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V(x₁, x₂,..., x_n ), чтобы ее производная по времени W(x₁, x₂,..., x_n ), тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная система устойчива; при знакоопределенной функции W будет иметь место асимптотическая устойчивость.

Теорема Ляпунова о неустойчивости нелинейных систем: если при заданных в форме (6.1) уравнениях системы n-го порядка производная по времени W(x₁, x₂,..., x_n) от какой-нибудь функции Ляпунова V(x₁, x₂,..., x_n) окажется знакоопределенной, причем сама функция V в какой-нибудь области, примыкающей к началу координат, будет иметь знак, одинаковый со знаком производной W, то данная система неустойчива.

Замечания к теореме Ляпунова об устойчивости.

1. При заданных в форме (6.1) уравнениях системы выбор функции V неоднозначен, поэтому данная теорема Ляпунова обеспечивает получение достаточных условий устойчивости, которые не всегда будут и необходимыми, т.е. при выполнении условий теоремы система наверняка будет устойчивой, но эти условия могут не охватывать всей области устойчивости системы по параметрам.

2. Понятие устойчивости по Ляпунову допускает, что при знакоопределенной функции V производная от нее по времени W была не обязательно знакоопределенной или знакопостоянной, а могла быть и тождественно равна нулю. В результате система хотя и не будет асимптотически приближаться к установившемуся состоянию, но все же будет все время в достаточной близости от него.

Нелинейная система (рис. 6.1) с одним нелинейным элементом с однозначной статической характеристикой

y_н = F(s)

в свободном состоянии может быть представлена в виде замкнутого контура, включающего в себя линейную часть (ЛЧ) и нелинейный элемент (НЭ) (рис. 6.5).

 

Рис. 6.5

При этом уравнения свободного движения системы (g = 0) будут

 

(6.7)

где

a_ij, b_i, c_k - постоянные коэффициенты.

Тогда задача исследования нелинейной системы (6.7) по Ляпунову сводится к определению функции V и ее производной

 

. (6.8)

 

А.И.Лурье предложил функцию Ляпунова выбирать в виде суммы функции квадратичной формы L(x) и интеграла от нелинейной функции F(s) рассматриваемой системы

(6.9)

где

Нелинейная система называется абсолютно устойчивой, если она устойчива при любых начальных отклонениях и любой форме нелинейной характеристики, удовлетворяющей условиям:

 

(6.10)

где k - заданное число.

 

Частотный метод В.М. Попова

 

Частотный метод В.М. Попова решает задачу об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью, заданной предельным значением коэффициента передачи k нелинейного элемента.

Если в системе управления (рис. 6.5) имеется лишь одна однозначная нелинейность

y_н = F(x), (6.11)

то, объединив вместе все остальные звенья системы в линейную часть, можно получить ее передаточную функцию W_лч(s).

Нелинейность y_н = F(x) имеет любое очертание, не выходящее за пределы заданного угла arctg k (рис. 6.6), т.е. при любом x

 

0 £ F(x) £ kx. (6.12)

а) б)

Рис. 6.6

На рисунке 6.6, а показан нелинейный элемент; на рисунке 6.6, б - статические характеристики.

Теорема В.М. Попова: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число q, при котором для всех частот w ³ 0

Re[(1+ jwq)W_ЛЧ(jw)] + > 0, (6.13)

где k - предельное значение коэффициента передачи нелинейного элемента;

W_ЛЧ(jw) - амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы.

Все полюсы передаточной функции линейной части системы должны быть с отрицательными вещественными частями или же кроме них имеется еще не более двух нулевых. При наличии одного нулевого полюса требуется еще, чтобы

Im W_ЛЧ(jw) ® -¥ при w ® 0,

а при двух нулевых полюсах

Re W_ЛЧ(jw) ® -¥ при w ® 0, а Im W_ЛЧ(jw) < 0 при малых w.

Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию, связана с введением видоизмененной частотной характеристики линейной части системы W*(jw), которая определяется следующим образом:

 

(6.14)

 

где T₀ = 1 с - нормирующий множитель.

Преобразовав левую часть неравенства (6.13)

Re[(1+ jwq)W_ЛЧ(jw)] + = Re W_ЛЧ(jw) - wq Im W_ЛЧ(jw)] +

и использовав соотношения (6.14), получим вместо (6.13) для теоремы В.М. Попова условие

U^*(w) - V^*(w) + > 0 (6.15)

при всех w ³ 0.

Очевидно, что равенство

U^*(w) - V^*(w) + = 0 (6.16)

представляет собой уравнение прямой на плоскости W^*(jw). Эта прямая, называемая прямой Попова, проходит через точку с координатами [-1/k, j0] и имеет угловой коэффициент наклона к оси абсцисс 1/q.

Отсюда вытекает графическая интерпретация теоремы В.М.Попова: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на комплексной плоскости W^*(jw), проходящую через точку
(- , j0), чтобы вся кривая W^*(jw) лежала справа от этой прямой.

Условия выполнения теоремы показаны на рис. 6.7.

 

а) б)

Рис. 6.7

На рис. 6.7, а приведен случай абсолютной устойчивости нелинейной системы при любой форме однозначной нелинейности, ограниченной лишь условием (6.12), а рис. 6.7, б соответствует случаю невыполнения теоремы, т.е. нелинейная система не имеет абсолютной устойчивости.

Таким образом, для определения абсолютной устойчивости нелинейной системы по методу В.М. Попова необходимо построить видоизмененную частотную характеристику линейной части системы W^*(jw), определить предельное значение коэффициента передачи k нелинейного элемента из условия и через точку (- ) на вещественной оси комплексной плоскости провести некоторую прямую так, чтобы характеристика W^*(jw) лежала справа от этой прямой. Если такую прямую провести нельзя, то это значит, что абсолютная устойчивость для данной системы невозможна. Величина q, связанная с угловым коэффициентом, при этом определяется из условия (6.15) так, чтобы при известных параметрах системы неравенство соблюдалось для всех частот. Очертание нелинейности может быть неизвестным. Необходимо знать лишь, в пределах какого угла arctg k (рис. 6.6, б) она расположена. Для конкретно заданных форм нелинейности область устойчивости будет несколько шире, но данным методом это не определяется.

Дополнение: неравенство (6.13) является так же достаточным условием абсолютной устойчивости нелинейной системы и при k ® ¥.