Векторно-матричное описание непрерывной системы



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Векторно-матричное описание непрерывной системы



 

Обобщая записанную в примере систему уравнений состояния, запишем ее для системы порядка n.

= a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn + b11u1 + b12u2 +…+ b1mum,

 

= a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn + b21u1 + b22u2 +…+ b2mum,

…………………………………………………….

= ai1x1 + ai2x2 +…+ ainxn + bi 1u1+ bbi 2u2 +…+ bimum,

= an 1x1 + an2x2 +…+ annxn + bn1u1 + bn2u2 +…+ bnnum.

Эту систему можно записать в векторно-матричной форме:

= AX + BU, (3.7)

где X = X(t) – действительный n-мерный вектор-столбец, компоненты которого переменные состояния. Поэтому он носит название вектора состояния.

U = u(t) - действительный m-мерный вектор-столбец, содержащий в качестве своих элементов входные внешние воздействия (управляющие и возмущающие), он называется вектором входа.

А – матрица коэффициентов системы размерностью (n x n), называемая матрицей системы или матрицей состояния.

B – матрица коэффициентов системы при внешних воздействиях и поэтому называемая матрицей входа; размерность матрицы B – (n x m).

Если матрицы А и В постоянные, то система называется стационарной; если матрицы А и В есть функции времени, то система называется нестационарной или системой с переменными коэффициентами.

Основное матричное уравнение (3.7.) обычно дополняется уравнением для вектора выходных переменных:

Y = CX + DU, (3.8.)

где C – матрица выхода системы, размерность которой зависит от размерности векторов X и Y; в одномерной системе, где y есть скалярная переменная, матрица С есть строка размерностью n;

D – матрица связи с внешними воздействиями, ее размерность определяется размерностью векторов U и Y.

Для матричной формы описания в пространстве состояний часто используется структурное изображение, причем в матричных структурных схемах сигналы, описываемые векторами, представляются двойными стрелками.

Так уравнению (3.7.) соответствует структурная схема (рис. 3.17, а), а схема, соответствующая уравнениям (3.7.) и (3.8.) совместно, показана на рис. 3.17, б.

 

 

 
 

а) б)

Рис. 3.17

Векторная связь через матрицу D редко встречается в обычных линейных системах с постоянными коэффициентами. Гораздо чаще используется структура с разделением управляющих и возмущающих внешних воздействий. В этом случае матрица В разделяется на две: Bu и Bf , и структурная схема приобретает вид, показанный на рис. 3.18, а.

F f

 

U x Y U y y

 

а) Рис. 3.18 б)

 

Для одномерной системы управления сигналы U, f и y являются скалярными величинами. Поэтому структурная схема одномерной системы будет иметь вид (рис.3.18, б). Здесь Bu и Bf вектор-столбцы, а матрица С вектор-строка.

 

Уравнения состояния непрерывной части системы:

, .

Матрица системы: A = . Матрица входа В = , матрица выхода C = [0 1].

Определяем переходную матрицу Ф(t) = L-1{(SI - A)-1}.

SI-A= s 0 – 0 - = s ; (SI-A)T= s

0 s 0 - s s

 

(SI-A)1= = .

 

L-1{ } = cos ; L-1{ } = ;

 

L-1{ }=- . Таким образом, дискретная матрица системы:

 

A* = Ф(T) =

 

 

3.5.3. Преобразование Лапласа матричного уравнения

Системы управления

Возьмем основное матричное уравнение системы: .

Рассмотрим сначала однородное матричное уравнение системы при U(t) = 0.

. Подвергнем его преобразованию Лапласа с учетом начальных условий, т.е. наличия вектора X(0) SX(s) – X(0) = AX(s).

Объединяя члены, содержащие изображение вектора X(s), получим

SX(s) – AX(s) = X(0) или (SIA)X(s) = X(0), откуда X(s) = (SIA)-1X(0), где I –единичная матрица. Матрица (SIA)-1 называется резольвентой матрицы А. Она определяется следующим образом:

(SI - A)-1= = .

Здесь det(SI A) – определитель матрицы (SI A); Adij(SI A)T – квадратная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов Aij матрицы (SIA)T; Adji(SI A) – матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов Aji матрицы (SI A).

Матрица (SI–A) называется характеристической. Ее определитель det(SI –
– A) = D(s) называется характеристическим полиномом. Уравнение det(SI–A)=0 называется характеристическим уравнением.

Рассмотрим неоднородное матричное уравнение системы , Y(t) = CX(t). Подвергая преобразованию Лапласа, получим (принимая начальные условия X(0) = 0):

SX(s) = AX(s) + bU(s), X(s) = (SI – A)-1BU(s), Y(s) = C(SI – A)-1BU(s) = H(s)U(s),

где H(s) = C(SI – A)-1B называется матричной передаточной функцией системы. Она вычисляется следующим образом: H(s)= .

Отметим, что знаменатель H(s) это характеристический полином D(s), что корни характеристического уравнения D(s)=0 являются одновременно полюсами передаточной функции системы H(s).



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-18; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.11.178 (0.009 с.)