Векторно-матричное описание непрерывной системы

 

Обобщая записанную в примере систему уравнений состояния, запишем ее для системы порядка n.

= a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n + b₁₁u₁ + b₁₂u₂ +…+ b_1mu_m,

 

= a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +…+ a_2nx_n + b₂₁u₁ + b₂₂u₂ +…+ b_2mu_m,

…………………………………………………….

= a_i1x₁ + a_i2x₂ +…+ a_inx_n + b_{i 1}u₁+ b_{bi 2}u₂ +…+ b_imu_m,

= a_{n 1}x₁ + a_n2x₂ +…+ a_nnx_n + b_n1u₁ + b_n2u₂ +…+ b_nnu_m.

Эту систему можно записать в векторно-матричной форме:

= AX + BU, (3.7)

где X = X(t) – действительный n-мерный вектор-столбец, компоненты которого переменные состояния. Поэтому он носит название вектора состояния.

U = u(t) - действительный m-мерный вектор-столбец, содержащий в качестве своих элементов входные внешние воздействия (управляющие и возмущающие), он называется вектором входа.

А – матрица коэффициентов системы размерностью (n x n), называемая матрицей системы или матрицей состояния.

B – матрица коэффициентов системы при внешних воздействиях и поэтому называемая матрицей входа; размерность матрицы B – (n x m).

Если матрицы А и В постоянные, то система называется стационарной; если матрицы А и В есть функции времени, то система называется нестационарной или системой с переменными коэффициентами.

Основное матричное уравнение (3.7.) обычно дополняется уравнением для вектора выходных переменных:

Y = CX + DU, (3.8.)

где C – матрица выхода системы, размерность которой зависит от размерности векторов X и Y; в одномерной системе, где y есть скалярная переменная, матрица С есть строка размерностью n;

D – матрица связи с внешними воздействиями, ее размерность определяется размерностью векторов U и Y.

Для матричной формы описания в пространстве состояний часто используется структурное изображение, причем в матричных структурных схемах сигналы, описываемые векторами, представляются двойными стрелками.

Так уравнению (3.7.) соответствует структурная схема (рис. 3.17, а), а схема, соответствующая уравнениям (3.7.) и (3.8.) совместно, показана на рис. 3.17, б.

 

 

а) б)

Рис. 3.17

Векторная связь через матрицу D редко встречается в обычных линейных системах с постоянными коэффициентами. Гораздо чаще используется структура с разделением управляющих и возмущающих внешних воздействий. В этом случае матрица В разделяется на две: B_u и B_f , и структурная схема приобретает вид, показанный на рис. 3.18, а.

F f

 

U x Y U y y

 

а) Рис. 3.18 б)

 

Для одномерной системы управления сигналы U, f и y являются скалярными величинами. Поэтому структурная схема одномерной системы будет иметь вид (рис.3.18, б). Здесь B_u и B_f вектор-столбцы, а матрица С вектор-строка.

 

Уравнения состояния непрерывной части системы:

, .

Матрица системы: A = . Матрица входа В = , матрица выхода C = [0 1].

Определяем переходную матрицу Ф(t) = L^-1{(SI - A)^-1}.

SI-A= s 0 – 0 - = s ; (SI-A)^T= s

0 s 0 - s s

 

(SI-A)¹= = .

 

L^-1{ } = cos ; L^-1{ } = ;

 

L^-1{ }=- . Таким образом, дискретная матрица системы:

 

A* = Ф(T) =

 

 

3.5.3. Преобразование Лапласа матричного уравнения

Системы управления

Возьмем основное матричное уравнение системы: .

Рассмотрим сначала однородное матричное уравнение системы при U(t) = 0.

. Подвергнем его преобразованию Лапласа с учетом начальных условий, т.е. наличия вектора X(0) SX(s) – X(0) = AX(s).

Объединяя члены, содержащие изображение вектора X(s), получим

SX(s) – AX(s) = X(0) или (SI – A)X(s) = X(0), откуда X(s) = (SI – A)^-1X(0), где I –единичная матрица. Матрица (SI – A)^-1 называется резольвентой матрицы А. Она определяется следующим образом:

(SI - A)^-1= = .

Здесь det(SI – A) – определитель матрицы (SI – A); Ad_ij(SI – A)^T – квадратная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов A_ij матрицы (SI – A)^T; Ad_ji(SI – A) – матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов A_ji матрицы (SI – A).

Матрица (SI–A) называется характеристической. Ее определитель det(SI –
– A) = D(s) называется характеристическим полиномом. Уравнение det(SI–A)=0 называется характеристическим уравнением.

Рассмотрим неоднородное матричное уравнение системы , Y(t) = CX(t). Подвергая преобразованию Лапласа, получим (принимая начальные условия X(0) = 0):

SX(s) = AX(s) + bU(s), X(s) = (SI – A)^-1BU(s), Y(s) = C(SI – A)^-1BU(s) = H(s)U(s),

где H(s) = C(SI – A)^-1B называется матричной передаточной функцией системы. Она вычисляется следующим образом: H(s)= .

Отметим, что знаменатель H(s) это характеристический полином D(s), что корни характеристического уравнения D(s)=0 являются одновременно полюсами передаточной функции системы H(s).