Ей соответствует разностное уравнение

a ₀ y (n + q) + a ₁ y (n + q - 1) +…+ a_qy (n) = b ₀ u (n + q) + b ₁ u (n + q - 1) +…+ b_qu (n).

Переменные состояния примем следующие:

X ₁(n) = y (n);

X ₂(n) = x ₁(n + 1) = y (n + 1);

X ₃(n) = x ₂(n + 1) = y (n + 2);

………………………………

X_q (n) = x_{q -1}(n + 1) = y (n + q - 1);

X_q (n + 1) = y (n + q).

Подставим их в разностное уравнение, приняв a ₀ = 1, b_q = 1, b ₀ = b ₁ =
= … = b_{q -1} = 0, y (n + q) = x_q (n +1) = - a ₁ x_q (n) - a ₂ x_{q -1}(n) -…- a_qx ₁(n) + u (n).

Полученные уравнения можно представить в виде векторно-матричного уравнения состояний:

= +

 

Совместно с уравнением выхода

Y (n)=[10…0] .

Вводя обозначения: X – вектор переменных состояния; А - матрица системы; В – матрица входа; С –матрица выхода; - записываем векторно-матричное уравнение дискретной системы в комплексной форме:

X (n + 1) = AX (n) + BU (n); Y (n) = CX (n).

Можно получить выражения матриц A,B и С и в более общем случае, когда b_q 1 и b ₀ b_{q -1} 0 [1].

Решение дискретного уравнения состояния с помощью

Z-преобразования

 

Рассмотрим дискретное уравнение состояния X (n +1)= A * X (n)+ B * U (n), где
A * = e^AT = L ^-1{(SI-A)^-1}| _t=T; B * = [ ] B. Подвергнем обе части уравнения состояния Z-преобразованию zX (z) - zX (0) = A * X (z) + B * U (z). Отсюда X (z) = (zI - A *)^-1 zX (0) + (zI - A *)^-1 B * u (z). Подвергая обратному Z- преобразованию, имеем X (n) = Z ^-1{(zI - A *)^-1 z } X (0) + Z ^-1{(zI - A *)^-1 B * u (z)}. Покажем, что обратное Z – преобразование от (zI - A *)^-1 есть дискретная переходная матрица состояния A (kT).

Z – преобразование A (kT) определяется общей формулой Z –преобразования A (z) = = . Умножим обе части последнего уравнения на A * z ^-1 и вычтем результат из последнего уравнения. Получим (I - A * z ^-1) A (z) = I, откуда A (z) = (I - A * z ^-1)^-1 = (zI - A *)^-1 z.

Вычисляя обратное Z – преобразование, получим A (kT) = Z ^-1{(zI - A)^-1 z }.

Это выражение и является основой способа определения переходной матрицы состояния, основанного на Z – преобразовании.

Второе слагаемое в выражении для X(n) вычисляем с помощью теоремы свертки и выражение для A (kT);

Z ^-1{(zI - A *)^-1 B * U (z)} =

Полное переходное уравнение состояния

X (n) = A (n) X (0) + .

 

Переходной характеристикой полностью дискретной системы называется реакция дискретной системы на единичную дискретную ступенчатую функцию.

Графическое представление входного сигнала и математическое описание дискретной ступенчатой функции имеет вид:

g _и*(n) = 1, n 0; g _и*(n) = 0, n < 0.

Z – преобразование дискретного входного сигнала G _и(z) = .

Z – преобразование переходной характеристики H (z) = D (z) G _и(z) = D (z), где D (z) – дискретная передаточная функция дискретной системы. Таким образом, h (n) = Z ^-1{ D (z)}.

g *_и

 

 

 

0 1 2 3 4 5 6 n

 

Частотные характеристики

 

Построение ЛАФЧХ дискретных систем и отдельных звеньев имеет свои характерные особенности. Они следуют из того факта, что выражения модуля и фазы КПФ дискретной системы являются функциями e^{j w T} и не логарифмируются непосредственно. Кроме того, диапазон частот дискретных характеристик
0 £ w £ p/ T не распространяется на всю ось абсцисс ЛАФЧХ непрерывных систем. Чтобы сделать выражения модуля и фазы логарифмируемыми и привести диапазон частот к подобному диапазону ЛАФЧХ непрерывных систем предварительно выполняется преобразование выражения ПФ дискретной системы с помощью подстановки . Эта подстановка называется w -преобразованием. Чтобы выяснить, как новая переменная w связана с обычной частотой w, используем связь z = e^{j w T}. Из формулы w -преобразования определяем

.

Используя формулу Эйлера e^{j a} = cosa + j sina, имеем

.

Окончательно имеем , где так называемая относительная псевдочастота. Нетрудно заметить, что при 0 £ w £ p/ T относительная псевдочастота будет меняться в диапазоне 0 £ £ ¥, т. е. Частотные характеристики дискретных систем, построенные в функции , будут подобны характеристикам непрерывных систем. На практике частотные характеристики дискретных систем строятся в функции не относительной, а абсолютной псевдочастоты l = (2/ T) . Дело в том, что при малых w (область низких частот) имеем

, а .

Это значит, что характеристики дискретных систем в области низких частот будут совпадать с характеристиками приведенной непрерывной части.

Посмотрим, как строятся ЛАФЧХ дискретных рассмотренных выше динамических звеньев: интегрирующего и апериодического 1-го порядка.

В ПФ дискретного интегратора вводим подстановку :

.

Далее принимаем w = j (T /2)l и получаем

.

Выражение ЛАЧХ

.

Выражение ЛФЧХ

j(l) = - arctg(T /2)l - p/2.

Графики ЛАФЧХ интегрирующего звена показаны на рис. 5.10.

Из графиков видно, что в области низких частот ЛАФЧХ дискретного интегратора совпадают с ЛАФЧХ непрерывного интегрирующего звена (наклоном
–20 дБ/дек, фазовый сдвиг j = -p/2. Существенное отличие характеристик имеет место в области высоких частот (нулевой наклон и фазовый сдвиг j = - p).

Перейдем к апериодическому звену 1-го порядка. Эквивалентная схема дискретного апериодического звена имеет вид (рис. 5.11).

Дискретная передаточная функция апериодического звена

=

. Для определения предварительно разложим на сумму простых слагаемых: = .

Тогда . Подставляем в общую формулу W_a (z):

.

Переходим к w -преобразованию W_a (z):

,

где . Подставим w = j (T /2)l в выражение W_a (w):

.

Можно доказать, что . Поэтому .

Переходя к ЛАФЧХ, получим

j_a(l) = - arctg(T /2)l - arctg T ₁l.

Графики L _а(l) и j_a(l) показаны на рис. 5.12.

Как и для интегрирующего звена, так и для апериодического звена 1-го порядка наблюдается совпадение ЛАФЧХ в области низких частот и существенное различие в области высоких частот для непрерывного и дискретного режимов работы.

Аналогично описанному выше строятся ЛАФЧХ других дискретных звеньев и систем. Свойство совпадения ЛАФЧХ в области низких частот сохраняет свою силу и для других более сложных звеньев и систем, что позволяет использовать для дискретных систем методы анализа и синтеза, разработанные для непрерывных систем.

Отметим, что для сложной передаточной функции непрерывной части дискретно-непрерывной системы построение ЛАФЧХ может быть выполнено приближенным способом, допускающим полное совпадение характеристик непрерывной и дискретной системы в области низких частот
0 £ l < 2/ T.

 

Устойчивость систем

 

Для устойчивости замкнутой дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты в диапазоне 0 £ w £ p/ T годограф характеристического полинома обошел в положительном направлении 2 n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль и не пересекаясь сам с собой.

Годографы устойчивых дискретных систем второго и четвертого порядка показаны на рис. 5.13.

Как и отмечалось ранее, крайние точки годографов D (e^{j 0}) и D (e^{j p}) являются вещественными и находятся на вещественной оси.

В качестве примера построим годограф для дискретного интегрирующего звена в системе с отрицательной обратной связью (рис. 5.14).

Передаточная функция разомкнутой системы

.

Передаточная функция замкнутой системы

.

Характеристический полином замкнутой системы

D (z) = z + kT – 1 = a ₀ z + a ₁,

где a ₀ = 1; a ₁ = kT – 1. Полагаем z = e^{j w T} при 0 £ w £ p/ T. D (e^{j w T}) = a ₀ e^{j w T} + a ₁. График D (e^{j w T}) показан на рис. 5.15. Он представляет собой полуокружность радиуса a ₀ = 1 и с центром в точке a ₁ = kT – 1.

 

Анализ качества

Перейдем к дискретно-непрерывной системе и покажем, как определяются коэффициенты ошибок на примере типовой одноконтурной системы с одним дискретным элементом. Как и для непрерывной системы рассмотрим установившиеся ошибки при отработке трех типовых воздействий: g (t) = g ₀1(t), g (t) = g₀t1 (t),
g (t) = g₀t ² 1 (t). Передаточная функция замкнутой системы по ошибке где .

1. Внешнее воздействие g ( t ) = g ₀1( t ). Его Z -изображение

Z-изображение ошибки .

Установившееся значение ошибки

.

Пусть - общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда

С ₀ – коэффициент ошибки по положению. Он определяется таким же, как и для непрерывной системы, выражением. Из выражения для ошибки видно, что чтобы С (¥) = 0, коэффициент передачи должен быть бесконечным. Это будет иметь место, если W ₁ W ₂(z) содержат хотя бы один полюс z = 1. Например, в составе W ₁ W ₂(z) имеется передаточная функция дискретного интегратора . Тогда .

2. Внешнее воздействие g (t) = g₀t1 (t), .

Изображение ошибки

.

Установившиеся значение ошибки

Определим коэффициент ошибки по скорости как

,

где - добротность системы по скорости. Для системы астатической 1-го порядка, передаточная функция которой содержит один полюс z = 1, k _n = k / T. Для того чтобы установившееся значение ошибки было равно нулю, необходимо, чтобы C ₁ = 0, т. е. k _n = ¥. Это возможно, если W ₁ W ₂(z) имеет два полюса z = 1.

3. Внешнее воздействие g (t) = g₀t ² 1 (t), .

Изображение ошибки .

Установившееся значение ошибки

где - добротность системы по ускорению.

Из выражения видно, что установившаяся ошибка будет равна нулю, если k_a = ¥, т. е. W ₁ W ₂(z) иметь три полюса z = 1.

Замечание. Полученные выражения C ₁ и C ₂ справедливы только тогда, когда внешние сигналы g (t) представляют собой скачки скорости и ускорения соответственно.

 

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение дискретных систем. Какова структура и классификация импульсных систем?

2. Расскажите о математическом аппарате исследования импульсных систем.

3. Сформулируйте теорему Котельникова-Шеннона. Поясните ее физический смысл и практическое значение при проектировании дискретных систем.

4. Поясните методы определения передаточных функций импульсных систем. Каковы особенности передаточных функций статических и астатических систем?

5. Каким образом определяются частотные характеристики импульсных систем?

6. Какими способами определяются переходные процессы в дискретных системах?

7. Сформулируйте условия устойчивости импульсных систем.

8. Каким образом оценивается точность работы импульсных систем?

9. Каков порядок синтеза цифровых систем? Перечислите методы определения передаточных функций корректирующих устройств. Укажите виды структурных схем цифровых фильтров.

1. Запишите стандартную форму уравнений в пространстве состояний. Поясните физический смысл уравнений.