Дискретно-непрерывная система

 

 

 

 

W (z) = Z{ W ₁(s) W ₂(s)… W_n (s)} = W ₁ W ₂ W ₃… W_n (z)

 

Правило: Дискретная передаточная функция последовательного соединения непрерывных звеньев не равна произведению их Z -форм, а равна Z -форме произведения их непрерывных передаточных функций.

Дискретная система с несколькими импульсными

Элементами

 

 

 

W (z) = W ₁(z) W ₂(z), где W ₁(z) = Z { W ₁(s)}, W ₂(z) = Z { W ₂(s)}.

Правило: Передаточная функция нескольких последовательно соединенных непрерывных звеньев, разделенных импульсными элементами, равна произведению их Z -форм от непрерывных передаточных функций.

Дискретно-непрерывная система

W (z) = , где W_i (z) = Z { W_i (s)}

Правило: Дискретная передаточная функция параллельного соединения непрерывных звеньев равна сумме дискретных передаточных функций отдельных ветвей.

 

Дискретная система с несколькими импульсными
элементами

Правило: Параллельные каналы с безинерционными звеньями и импульсными элементами, работающими синхронно и с одинаковым периодом квантования, могут быть заменены одним импульсным элементом, включенным после узла суммирования.

Дискретно-непрерывная система с единичной обратной связью

W пнч(s)

X (s) E (s) Y (s)

 

 

Y (z, ) = W (z, ) E (z), где W (z, ) = Z _s{ W _ПНЧ(s)}, E (z) = X (z) – Y (z). Подставляя в уравнение выхода, получаем

Y (z, ) = W (z, ) X (z) - W (z, ) Y (z).

Положим =0, тогда

Y (z) = W (z) X (z) - W (z) Y (z) = .

Подставляя в уравнение для Y (z, ), получим

Y (z, ) = W (z, )[ X (z) - Y (z)] = W (z, )[ X (z) - X (z)] = X (z).

Передаточная функция замкнутой системы по управлению:

Ф_x (z, ) = = .

Получим передаточную функцию замкнутой системы по ошибке:

Ф_е (z, )= ,

где E (z, ) = X (z, ) - Y (z, ). Подставляя в уравнение для ошибки Y (z, ) =
= X (z), получим E (z, ) = X (z, ) - X (z).

К сожалению, из полученного выражения E (z, ) невозможно написать отношение E (z, ) к X (z). Это можно сделать, только положив =0, тогда
E (z) = X (z) - X (z) = X (z). Тогда передаточная функция замкнутой системы по ошибке при =0 будет:

Ф_е (z) = = .

Отметим, что по форме передаточные функции замкнутой дискретно-непрерывной системы полностью совпадают с соответствующими передаточными функциями непрерывной системы.

 

Дискретные системы произвольной структуры

 

Под произвольной структурой мы будем понимать расположение одного или нескольких импульсных элементов в различных местах дискретной системы, (в прямом канале, в канале обратной связи, между непрерывными звеньями и т.д.). Для записи уравнений или передаточных функций в таких системах следует использовать три основных правила записи уравнений в Z-изображениях.

*Правило1: Z-изображение выходного сигнала одного или нескольких последовательно соединенных непрерывных звеньев, подвергнутых воздействию дискретного сигнала, равно произведению Z-изображения, входного сигнала на Z-преобразование непрерывной передаточной функции. Рисунок ниже иллюстрирует это правило:

 

Правило2: Если одно или группа непрерывных последовательно соединенных звеньев подвергнута воздействию непрерывного сигнала, то Z-изображение выходного сигнала равно Z-преобразованию произведению изображения входного сигнала на непрерывные передаточные функции звеньев.

	W (s)		W 1(s)		W 2(s)

X (s) Y (s) X (s) Y (s)

 

 

Y (z) = Z { X (s)} W (s)} = XW (z). Y (z) = Z { X (s)} W ₁(s) W ₂(s)} = XW ₁ W ₂(z)

Y (z, ) = Z { X (s) W (s)} = XW (z, ) Y (z, ) = Z { X (s)} W ₁(s) W ₂(s)} = XW ₁ W ₂(z, )

 

Правило 3. Z – изображение выходного сигнала группы звеньев, разделенных импульсными элементами, работающими синхронно и с одинаковым периодом квантования, равно произведению Z-форм передаточных функций отдельных звеньев.

Y (z) = X (z) W ₁(z) W ₂(z) W ₃(z), где W ₁(z) = Z { W ₁(s)}; W ₂(z) = Z { W ₂(s)}; W ₃(z) =
= Z { W ₃(s)};

Выражение Y (z, ) при 0 довольно сложное и здесь не производится.

Пример: Простая система с одним импульсным элементом и неединичной обратной связью.

Для записи выражения передаточных функций системы по управлению G (s) и ошибке E (s) разорвем искусственно систему (разрыв всегда делается перед импульсным элементом или перед первым импульсным элементом, если их несколько).

Y (s) G (s)

 

E (s) E (s)

 

 

Запишем выражение для E (z)

E (z) = - E (z) W ₁ W ₂(z) + G (z) = G (z) .

Передаточная функция замкнутой системы по управлению

Ф_g (z)= = .

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке:

Ф_e (z) = = .

Непосредственное применение правила Мэйсона к графу, эквивалентному структурной схеме дискретно-непрерывной системы, невозможно. Существует два пути использования правила Мэйсона для дискретно-непрерывных систем:

1) составление дискретного графа, в котором все переменные представлены дискретными величинами и для которого применение правила Мэйсона допустимо;

2) использования исходного эквивалентного графа с изменением формулы Мэйсона. Первый путь является более простым и эффективным и поэтому получил широкое распространение в практике анализа дискретно-непрерывных систем, особенно при решении задачи записи уравнений в Z-изображениях для систем сложной структуры с несколькими дискретными элементами.

В качестве иллюстрации использования формулы Мэйсона и записи уравнений в Z-изображениях рассмотрим простую дискретную систему с одним дискретным элементом и неединичной отрицательной обратной связью (рис. 2.23), использованную выше для составления эквивалентного графа.

Уравнения для входа и выхода в изображениях

E (s) = G (s) - W (s) W _ос(s) E *(s), Y (s) = W (s) E *(s).

Подвергнем Z-преобразованию записанные уравнения

E (z) = G (z) - WW _ос(z) E (z) = , Y (z) = W (z) E (z) = G (z) .

Составляем дискретный граф системы

 

G (z) 1 E (z) W (z) y (z)

 

- WW _ос(z)

К такому графу правило Мэйсона применяется без всяких ограничений и условий:

= ; = .

Передачи между непрерывными и дискретными сигналами могут быть определены из так называемого составного графа.

Составным графом называется совокупность дискретного и эквивалентного графов, полученная путем соединения выходных узлов квантователей эквивалентного графа с аналогичными узлами дискретно графа дугами с единичными передачами.

 

G (z) 1 E (z) W (z) Y (z)

 

 

- WW _ос(z) 1

E (z) W ₁(s)

G (s) E (s) Y (s)

 

- W_x (s)

 

Составной граф для рассматриваемой нами системы будет следующим:

Применение правила Мэйсона к составному графу позволяет записать выражения передач для всех непрерывных и дискретных вершин. Так например,

= ; E (s) = G (s) - G (z).

 

Векторно-матричное описание

 

При переходе к дискретной аппроксимации непрерывной части системы будем считать, что входной сигнал квантуется с периодом Т, а затем преобразуется экстраполятором нулевого порядка.

Это значит, что внешнее воздействия U (t) остается постоянным в течение n -такта квантования, т. е. U (t) = u (nT), при nT t (n + 1) T.

Известно, что решением основного векторно-матричного уравнения непрерывной системы =AX+BU является следующее выражение

X (t) = Ф (t) X (o) + , (5.1)

где Ф (t)= e^At - переходная матрица системы, имеющая форму матричной экспоненты e^At. Она вычисляется либо как сумма степенного ряда e^At = I +
+ At + +…+ +…, либо как обратные преобразования Лапласа e^At =
= L ^-1{(SI - A)^-1}.

Используем выражение (5.1) для определения вектора состояния во времени интервала nT t (n+1)T, считая начальными условиями x (nT), X (t) =
= Ф (- nT) X (nT) + u (nT) . Для момента времени t = (n + 1)T имеем X [(n + 1) T ] = Ф (T) X (nT) + U (nT) , или после преобразований X (n + 1) = Ф (T) X (n) + … + U (n) , где Ф (T) = e^AT = L ^-1{(SI - A)^-1} - - переходная матрица непрерывной части системы при t = T.

Введем обозначения: A * = Ф (T); B *=[ ] B. Тогда векторно-матричное описание дискретной системы будет иметь вид:

X (n + 1) = A * X (n) + B * U (n), Y (n) = CX (n) + DU (n).

По форме полученные уравнения являются полной аналогией векторно-матричных уравнений непрерывной системы.

Векторно-матричное описание дискретной системы

Пусть дискретная система описывается передаточной функцией

W (z) = = .