Ориентированные графы непрерывных САУ

Наряду со структурными схемами для графического изображения моделей САУ широко используются ориентированные графы, которые в ряде случаев благодаря своим наглядности и прозрачности позволяют легче, чем структурные схемы, провести необходимые преобразования, значительно упрощающие решение задач анализа и синтеза САУ.

Ориентированным графом называется множество точек, называемых вершинами и множества самонепересекающихся ориентированных кривых, называемых дугами, которые подчиняются следующим трем правилам:

1) каждая незамкнутая дуга содержит только две вершины;

2) каждая замкнутая дуга содержит только одну вершину;

3) дуги не имеют общих точек, кроме вершин.

Ориентированный граф САУ имеет кроме того следующие свойства:

1) каждая дуга соответствует звену модели САУ и характеризуется оператором изображаемого его звена;

2) каждая вершина соответствует какой-либо переменной структурной схемы.

Граф системы управления может быть построен по структурной схеме. При переходе от структурной схемы к ориентированному графу необходимо следовать следующим правилам:

1) знаки суммирования сигналов в элементах суммирования учитываются в операторах соответствующих дуг;

2) каждый элемент суммирования заменяется вершиной, которой ставится в соответствие выходная переменная звена;

3) каждое звено структурной схемы заменяется дугой с оператором звена;

4) каждой переменной внешних воздействий соответствует своя вершина.

Так структурной схеме (рис. 3.13, а) соответствует граф, показанный на рис. 3.13, б.

f f

g y g 1 W ₁ -1 W ₂ y

 

 

- W ₃

 

 

a) б)

Рис. 3.13

При построение графа, эквивалентного структурной схеме дискретной системы, дополнительно к четырем выше сформулированным правилам пользуется специфическим правилом: дискретные элементы изображаются как и на структурной схеме ключами с учетом, что передаточные функции формирующих звеньев объединены с операторами других непрерывных звеньев (рис. 3.14, где W ₁(s)= W _ф3(s) W (s)).

g e e *(t) y g 1 e e * W ₁(s) y

 

 

- W _ос(s)

a) б)

Ориентированные графы могут быть преобразованы с использованием следующих правил:

1) параллельные дуги можно заменить одной дугой с передачей равной сумме передач исходных дуг;

2) путь, не содержащий не принадлежащих ему дуг, можно заменить одной дугой с передачей равной произведению передач отдельных дуг этого пути.

Для упрощения сложного графа и вычисления по нему передачи между двумя любыми вершинами используется правило Мэйсона, выражаемое следующей формулой:

W_x,y = .

 

Здесь W_i – передача i -го пути от вершины x к вершине y, равная произведению передач дуг, входящих в этот путь; m - число таких путей; - определитель графа, вычисляемый по формуле:

= 1 – + – +…,

где W _{0 j}, W _{o k} , W _{o l} – передачи j -го, k -го или l -го контуров, равные произведению передач входящих в них дуг; в первой сумме суммируются передачи всех контуров, во второй сумме – произведения передач несоприкасающихся (не имеющих общих вершин) контуров; в третьей сумме суммируются произведения трех передач трех несоприкасающихся контуров и так далее;

_I – определитель подграфа, остающегося от исходного графа после удаления дуг и вершин i -го пути, включая дуги, подходящие к этим вершинам (другими словами _I – определитель той части графа, которая не касается с рассматриваемого i -го пути).

В качестве примера рассмотрим использование формулы Мэйсона для графа, изображенного на рис. 3.15.

W ₉

- W ₂ - W ₆ -1

1 W ₁ W ₃ W ₅ 1 W ₇

g - W ₄ y

- W ₈

 

Представленный граф содержит:

1) два пути от вершин G к вершине Y

W _п1 = W ₁ W ₃ W ₅ W ₇, W _п2= W ₅ W ₇ W ₉;

2) пять простых контуров:

W ₀₁ = – W ₁ W ₂, W ₀₂ = – W ₃ W ₄, W ₀₃ = – W ₅ W ₆, W ₀₄ = – W ₇, W ₀₅ = – W ₁ W ₃ W ₅ W ₇ W ₈

3) четыре пары несоприкасающихся контуров:

W ₀₁ W ₀₃, W ₀₁ W ₀₄, W ₀₂ W ₀₄, W ₀₃ W ₀₄;

4) одну тройку несоприкасающихся контуров

W ₀₁ W ₀₃ W ₀₄;

 

5) определитель подграфа первого пути = 1, так как нет контуров, несоприкасающихся с первым путем;

6) определитель подграфа второго пути: = 1 + W ₁ W ₂;

определитель всего графа

= 1 – (W ₀₁ + W ₀₂ + W ₀₃ + W ₀₄ + W ₀₅) +

+ (W ₀₁ W ₀₃ + W ₀₁ W ₀₄ + W ₀₂ W ₀₄ + W ₀₃ W ₀₄) – W ₀₁ W ₀₃ W ₀₄.

Передача всего графа от вершин G к вершине Y:

W_g,y = .

 

Описание систем управления моделями пространства состояний

Уравнения состояния САУ

 

Пространство состояний САУ это бесконечная совокупность временных моментов состояния системы, описанная конечной совокупностью переменных состояния.

Число переменных состояния обычно принимается равным порядку общего дифференцированного уравнения системы, т.е. числу дифференцированных уравнений 1-го порядка.

Уравнения состояния записываются обычно в нормальной форме Коши и имеют вид:

= a_{i 1} x ₁ + a_{i 2} +… + a_inx_n + b_{i 1} u ₁ + b_{i 2} u ₂ + … + b_imu_m, i = 1, 2, …, n.

В левой части уравнения состояния всегда производная переменной состояния, а в правой части сумма всех переменных состояния и внешних воздействий со своими коэффициентами. Полное описание в пространстве состояния будет представлять систему из n дифференцированных уравнений 1-го порядка в форме Коши.

Существует три способа записи уравнений состояния подобной формы:

1) запись уравнения в форме Коши на этапе первичного поэлементного описания системы управления; например, уравнение напряжений цепи якоря двигателя постоянного тока

i _я r _яц + L _яц = u - e_g,

где r _яц и L ­_яц – сопротивление и индуктивность якорной цепи соответственно, u – изменение напряжения, приложенного к якорной цепи, e_g – изменения противоэдс двигателя, i _я- ток якорной цепи, может быть записано в нормализованной форме.

= – – + .

2) Запись уравнений состояний по передаточным функциям звеньев; например для передаточной функции W (s) = = можно записать уравнение TsY (s) + Y (s) = kU (s) и после перехода во временную область T + y (t) = ku (t), и уравнение состояния = .

В случае сложной передаточной функции порядка n > 1 прибегают к разложению ее на сумму слагаемых 1-го порядка, либо к представлению в виде произведения сомножителей 1-го порядка.

3) Универсальным способом записи уравнений состояния является их составление на основе детализированной структурной схемы системы. Процесс записи уравнений включает в себя 2 этапа:

- выбор переменных состояния; в качестве переменных состояния выбираются выходные переменные интегрирующих звеньев ДСС;

- запись уравнений для входных переменных интегрирующих звеньев.

Для иллюстрации процесса записи уравнений состояния по ДСС покажем систему нормальных уравнений для ДСС, представленной на рис. 3.16.

В кружках на схеме показаны переменные состояния.

 

= (-( x ₂ - x ₅) + g - x ₃ - k ₃(x ₃ - f)),

= (- x ₂ + k ₂(x ₁ + x ₄ - x ₆ - k ₆ (x ₂ - f))), = (x ₂ - f),

= (g - x ₃ - k ₃(x ₂ - f) - (x ₅ + x ₂)), = (- x ₅ + x ₂),

= (k ₆(x ₂ - f) - x ₆ - k ₆ (x ₂ - f)).