Модальное управление при полностью

Измеряемом векторе состояния объекта управления

 

Модальным называется управление, имеющее целью придать корням характеристического уравнения замкнутой системы (собственным числам или “модам” матрицы системы) желаемые значения и их расположение на s -плоскости.

При наличии полной информации о векторе состояния объкта управления система модального управления содержит n обратных связей по каждому из n переменных состояния. Причем, каждая обратная связь является пропорциональной с некоторым значением k_i, i = 1, 2, …, n выбираются так, чтобы характеристический полином замкнутой системы соответствовал выбранной стандартной форме H (s), задающей желаемые значения корней характеристического уравнения и их расположение на s -плоскости. Структурная схема системы модального управления показана на рис. 4.46.

Пусть объект управления описывается уравнением

(4.16)

где x – n -мерный вектор состояния; U – управляющее воздействие объекта управления; A и B – матрицы объекта и входа соответственно.

Уравнение замкнутой системы получим, полагая

(4.17)

где k – вектор-строка коэффициентов обратных связей. Подставляя (4.26) в (4.25), получим

(4.18)

Преобразуем по Лапласу матричное уравнение (4.27):

откуда вектор состояния

Выходная величина системы x_n определяется из уравнения выхода Y (s)= Cx (s), где С – матрица строка выхода.

Передаточная функция замкнутой системы

Знаменатель передаточной функции является характеристическим полиномом. Приравнивая его стандартной форме, получаем уравнение

(4.19)

Если раскрыть обе части (4.19) по степеням s, затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях s, получится система уравнений, решая которую можно найти элементы матрицы k.

Пример. Пусть объект задан структурной схемой (рис. 4.47).

Уравнение состояния объекта управления:

откуда матрицы объекта и входа

Система уравнения объектом содержит обратные связи по всем трем переменным состояния: x ₁, x ₂, x ₃. Таким образом k = [ k ₁ k ₂ k ₃] должна быть найдена.

Вычисляем det(sI - A + Bk).

det(sI – A + Bk) = (s + 1 + k ₁)(s ² + 2) – k ₂ s – k ₃ =

= s ³ + (1+ k ₁) s ² + (2 – k ₂) s + 2(1 + k ₁) – k ₃. (4.20)

Примем в качестве стандартной формы биноминальную форму

H (s) = s ³ + 3w₀ s ² + 3w₀² s + w₀³. (4.21)

Применяем коэффициенты (4.20) и (4.21) при одинаковых степенях s:

1 + k ₁ = 3w₀, откуда k ₁ = 3w₀ – 1;

2 – k ₂ = 3w₀², откуда k ₂ = 2 - 3w₀²;

2 + 2 k ₁ – k ₃ = w₀³, откуда k ₃ = 2+ 2(3w₀ - 1) - w₀³ = 6w₀ - w₀³.

Пусть w₀ = 10 с^-1, тогда согласно рис.4.24 время регулирования не превысит 1 с. Коэффициенты матрицы k:

k ₁ = 3w₀ – 1 = 29; k ₂ = 2 - 3w₀² = -298; k ₃ = 6w₀ - w₀³ = -940

 

Модальное управление при неполной информации

О векторе состояния объекта управления

 

При невозможности измерить и использовать для управления все переменные состояния, возможность свободного расположения корней замкнутой системы на комплексной плоскости отсутствует. Существует два подхода к решению возникающей проблемы.

1. Организуется управление или по неполному вектору состояния или по выходной величине. В этих случаях попытки достичь желаемого расположения корней замкнутой системы приводят к уравнениям связи между коэффициентами или неравенством, ограничивающим значения коэффициентов. Несмотря на невозможность свободного выбора расположения корней и их значений в ряде случаев удается получить достаточно удовлетворительное качество управления.

2. В систему вводится так называемый наблюдатель состояния, представляющий собой модель объекта управления, который по измеренным переменным выхода объекта восстанавливает с определенной точностью вектор состояния объекта управления. По оценкам вектора состояния далее организуется управление с помощью k -матрицы обратных связей, такие как это делалось в системе управления при полностью измеряемом векторе состояния объекта управления. Более подробно о синтезе систем с наблюдателями состояния в непрерывных.

 

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение устойчивости системы с физической и математической точек зрения.
2. Какой характер имеет переходный процесс в устойчивой и неустойчивой системах?
3. Сформулируйте необходимое условие устойчивости.
4. Что такое критерии устойчивости?
5. Что такое граница устойчивости? Каким образом при этом расположены корни характеристического уравнения системы на плоскости комплексного переменного?
6. Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица.
7. Каким образом по критерию Гурвица определяются границы устойчивости?
8. Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста.
9. Что такое запасы устойчивости? Каким образом они определяются по АФЧХ разомкнутой системы?
10. Как определяются запасы устойчивости по ЛЧХ?
11. Дайте понятие качества работы системы управления. Чем оно определяется?
12. Что представляют собой критерии качества?
13. Как производится оценка точности работы систем?
14. Чему равны первые два коэффициента ошибок в системах с астатизмом первого и второго порядков?
15. Определите показатели качества переходного процесса и частотные показатели, поясните их физический смысл.
16. Поясните связь частотных показателей качества работы системы с частотными характеристиками разомкнутой цепи.
17. Что представляют собой корневые оценки качества?
18. В чем удобство и недостатки интегральных критериев качества?
19. Каким образом экспериментальным путем можно оценить качество работы системы?
20. Какова роль моделирования систем управления?
21. Перечислите общие методы повышения точности систем управления. Поясните их.
22. Дайте понятие астатических системы управления. Каким образом определяется степень астатизма?
23. В чем преимущество повышения степени астатизма системы с помощью изодромных устройств?
24. Какая система является инвариантной по отношению к внешним воздействиям?
25. Что понимается под комбинированным управлением?
26. Как определяются передаточные функции компенсирующих устройств в комбинированных системах?
27. Для каких целей используются неединичные главные обратные связи?
28. Сформулируйте понятие чувствительности систем управления.
29. Каким образом можно получить уравнения чувствительности?
30. Что представляют собой функции чувствительности и коэффициенты чувствительности?