Основные задачи на прямую и плоскость

Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу.

Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора. Как найти координаты точки на прямой, мы уже обсуждаливыше Направляющий вектор можно найти двумя способами.

Во-первых, можно найти координаты другой точки на этой же прямой и в качестве направляющего вектора взять вектор .

Во-вторых, если заметить, что нормальные векторы и плоскостей, чьи уравнения образуют систему уравнений для прямой, ортогональны самой прямой, то можно сделать вывод: любой ненулевой вектор, ортогональный векторам и , можно принять в качестве направляющего вектора p. В частности, можно положить .

Пример 11.4 Прямая задана уравнениями

(11.15)

Требуется написать ее параметрические уравнения.

Решение. Найдем какую-нибудь точку на прямой. Положим . Система (11.15) примет вид

 

Решая ее, находим , . Таким образом, на прямой лежит точка . Найдем направляющий вектор. Нормальными векторами плоскостей, соответствующих уравнениям системы (11.15), являются , . Положим . Тогда

 

Теперь, зная точку и направляющий вектор, можно написать параметрические уравнения прямой.

Ответ:

Следующая, часто встречающаяся, задача такая:

Дано уравнение плоскости и уравнения прямой. Требуется найти их точку пересечения.

Так как точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости, то она удовлетворяет и уравнению плоскости, и уравнениям прямой. Поэтому для решения задачи нужно объединить уравнение плоскости и уравнения прямой в одну систему и решить ее.

Пример 11.5 Найдите точку пересечения прямой и плоскости .

Решение. Прямая задана каноническими уравнениями. Им соответствует система уравнений

 

В результате для нахождения точки пересечения прямой и плоскости получаем систему уравнений

 

Для ее решения можно предложить следующий путь. Из первого уравнения выражаем через : . Из второго -- через : . Найденные выражения для и подставляем в третье уравнение и находим . Находим и : , .

Ответ: .

Следующие две задачи связаны с нахождением угла.

1. Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Угол между прямыми -- это угол между их направляющими векторами, если направляющие векторы образуют острый угол , или , если -- тупой угол . Во втором случае .

Для решения задачи достаточно найти направляющие векторы и прямых. Тогда

 

а искомый угол определяется из равенства

 

2. Даны уравнение плоскости и уравнения прямой . Требуется найти угол между прямой и плоскостью.

По определению, угол между прямой и плоскостью -- это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 11.12).

 

Рис.11.12. -- угол между прямой и плоскостью

 

Пусть -- угол между нормальным вектором n плоскости и направляющим вектором p прямой . Тогда либо (рис. 11.12), либо (рис. 11.13).

 

Рис.11.13. -- угол между прямой и плоскостью

 

В обоих случаях , а так как , то

 

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.

Пример 11.6 Найдите точку , симметричную точке относительно прямой :

(11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию точки на прямую (рис 2.14).

 

Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой

 

Для этого напишем уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярной прямой , а затем найдем точку , являющуюся точкой пересечения плоскости и прямой.

Заметим, что плоскость, перпендикулярная прямой , параллельна нормальным векторам и плоскостей, соответствующих уравнениям в системе (11.16). Поэтому нормальный вектор n плоскости, перпендикулярной прямой , можно взять равным : , ,

 

Уравнение плоскости : , то есть .

Находим точку :

 

Решение этой системы: ; ; , .

Пусть -- искомая точка. Тогда из рис. 11.14 видно, что . Находим , . Тогда

 

откуда , , .

Ответ: .

15. Для исследования кривых второго порядка, общее уравнение которых имеет вид

, рассматривается произведение .

• Если , то эллипс;
• Если , то гипербола;
• Если , то парабола.