Системы дифференциальных уравнений

Система уравнений вида

называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Число уравнений, входящих в систему, называется порядком этой системы.

Возьмем в качестве независимой переменной . Пусть – функции этой переменной. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений 2-го порядка

(9.28)

где введены обозначения .

Решением системы (9.28) на некотором промежутке называется совокупность функций , которая обращает все уравнения системы на этом промежутке в тождества.

Общим решением системы (9.28) является совокупность функций

которая при любых значениях постоянных является решением системы.

Решение, которое получается из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением системы.

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений (9.28) состоит в нахождении частного решения этой системы , удовлетворяющего начальным условиям где – заданные числа.

Система (9.28) имеет физический смысл и называется динамической системой. Она определяет скорость движущейся в плоскости материальной точки в любой момент времени . Решение системы (9.28) – это параметрическое уравнение траектории движения точки. Начальные условия задают положение материальной точки в момент времени .

Одним из основных методов решения систем дифференциальных уравнений является метод исключения неизвестных, с помощью которого система дифференциальных уравнений (9.28) сводится к дифференциальному уравнению второго порядка от одной неизвестной функции. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 9.16. Найти решение системы ДУ

(9.29)

Решение. Решение системы будем проводить в несколько этапов.

1) Выразим из первого уравнения системы :

. (9.30)

2) Подставим (9.30) во второе уравнение системы и преобразуем его: ,

(9.31)

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции .

3) Решая уравнение (9.31), находим функцию : ,

(9.32)

– общее решение уравнения (9.31).

4) Подставив (9.32) в формулу (9.30), находим функцию :

Таким образом, получим общее решение системы (9.29):

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить дифференциальные уравнения

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , .

6. .

7. .

8. , , .

Найти общее решение ДУ второго порядка

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

 

 

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ №9

1^0. Укажите ДУ с разделяющимися переменными а) ; б) ; в) ; г) .

2^0. Укажите дифференциальное уравнение третьего порядка а) ; б) ; в) ; г) .

3. Укажите линейное ДУ первого порядка. а) ; б) ; в) ; г) .

4. Дифференциальное уравнение является а) дифференциальным уравнением второго порядка; б)диф. уравнением с разделяющимися переменными; в) линейным дифференциальным уравнением; г) однородным дифференциальным уравнением.

5. ДУ вида решается с помощью замены a) ; б) ; в) ; г) .

6.Запишите характеристическое уравнение ДУ .

7*.Общий интеграл ДУ имеет вид а) ; б) ; в) ; г) .

8*.Частное решение дифференциального уравнения ищется в виде а) ; б) ; в) ; г) .

Модуль 10. Ряды

Числовые ряды. Основные понятия

Определение. Пусть – числовая после-довательность. Выражение вида

называется числовым рядом, числа – членами ряда, а число – -м членом ряда.

Например, числовыми рядами являются следующие выражения:

Определение. Сумма конечного числа первых членов ряда

называется - й частичной суммой данного ряда.

Таким образом,

Определение. Если существует конечный предел последова-тельности частичных сумм ряда

то ряд называется сходящимся, а число – суммой данного ряда:

Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называют расходящимся.

Выражение вида

представляющее собой числовой ряд, называется - ым остатком ряда.

Для сходящегося ряда можно записать равенство

Поскольку для сходящегося числового ряда то

Например, рассмотрим ряд

представляющий собой сумму членов бесконечно убывающей гео­метрической прогрессии со знаменателем . Вычислим n -ю час­тичную сумму этого ряда:

.

Следовательно, ряд сходится и его сумма .

Ряд является расходящимся, т.к.

.