Понятие о поверхностных интегралах.

Поток векторного поля

Пусть функция определена и непрерывна в каждой точке некоторой поверхности . Разобьем произвольным обра­зом на элементарных частей с площадями . На каждой элементарной поверхности выберем произвольную точку и составим сумму .

Определение. Предел последовательности интегральных сумм , когда называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обознача­ется .

Вычисление этого интеграла сводится к вычислению двойного интеграла (см.[7], §15.3).

Пусть в каждой точке некоторой поверхности определен не­прерывный вектор

.

 

Рис. 13.2

Зададим направление нормали к поверхности (эту сторону по­верхности считаем положительной). Проекция вектора в каж­дой точке поверхности будет являться скаляром (рис.13.2). Поэтому функция будет скалярной функцией и от нее можно вычислить поверхностный интеграл пер­вого рода.

Поверхностным интегралом второго рода от вектора по поверхности называется поверхностный интеграл первого рода от проекции этого вектора на вектор нормали к и обо­значается

.

В теории поля поверхностный интеграл второго рода называется потоком векторного поля через поверхность.

Примеры потоков векторных полей

1. Поток электрического поля точечного заряда напряженностью через замкнутую поверхность , охватывающую этот заряд, равен

.

2. Поток магнитного поля с индукцией через поверхность равен

.

ЗАДАЧИ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Дана функция и точки . Найти: а) ; б) производную в точке по направлению вектора .

2. Задано векторное поле . Найти div и

grad div .

3. Выяснить, является ли векторное поле гармоническим.

4. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура эллипса при положительном направлении обхода.

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ №13

1^0.Если – скалярное поле, то равенство задает а)ротор; б)дивергенцию; в)градиент;г)производную по направлению.
2^0.Векторное поле во всех точках которого выполняется условие , называется а)гармоническим;б)скалярным; в)соленоидальным; г)потенциальным.
3. Вектор grad u указывает а) направление наибольшего изменения функции; б) направление наименьшего изменения функции; в) постоянство функции; г) направление функции.
4.Если , то циркуляция силы вдоль замкнутой линии L представляет собой: а) мощность; б) работу силы; в) момент силы; г) плечо силы.
5.Если – скалярное поле, то есть а)скалярное поле; б)векторное поле; в)скалярно-векторное поле; г)оператор не определен.
6.Если – векторное поле, то находится по формуле
а) ; б) ;	в) ;г) .
7*. Производная функции по направлению вектора в точке равна а) ; б) ; в) ; г) .
8*.Если то равен. а) ; б)0; в) ; г) .

Модуль 14. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Классификация событий

Определение. Событием в теории вероятностей называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате какого-то опыта (испытания). Например, трактор проработал без капитального ремонта 7000 часов - это событие.

В теории вероятностей события обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д. или одной буквой, снабженной индексами: , , и т.д.

По возможности появления события делятся на достоверные, невозможные, случайные.

Определение. Достоверное событие - это такое событие, которое в результате данного испытания обязательно наступит. Например, если в ящике находятся только болты, то событие “из ящика извлечен болт” является достоверным.

Определение .Невозможное событие - это такое событие, которое в результате данного испытания не может произойти. Извлечение из массы непротравленного зерна одного протравленного зерна - событие невозможное.

Определение. Случайное событие - это такое событие, которое в результате данного испытания может произойти, но может и не произойти. Например, на колхозном поле работают 3 комбайна. Событие состоящее в том, что в данный момент неисправными окажутся все комбайны – случайное.

Виды случайных событий.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Например, механизатор может работать на тракторе и на комбайне. Пусть событие А - механизатор в данный момент работает на тракторе, событие В - на комбайне. События А и В - несовместные.

События , ,… называются равновозможными, если условия их появления одинаковы.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания обязательно наступит хотя бы одно из них. На практике широкое применение находит полная группа несовместных событий. Например, по цели производится три выстрела. Исходом испытания может быть одно из событий: А – три промаха, В – одно попадание, С – два попадания, D – три попадания. События А, В, С, D образуют полную группу несовместных событий.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Событие, противоположное событию А, принято обозначать .

Например, событие А - деталь годная, событие - деталь бракованная.

Элементы комбинаторики

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей.

Соединениями называют различные группы, составленные из каких-либо объектов.

Элементами называются объекты, из которых составлены соединения.

Различают следующие три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.

Определение. Перестановками из элементов называют соединения, содержащие все элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов.

Число перестановок из элементов находится по формуле

.

Пример 14.1. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 6 человек?

Решение. Количество таких способов вычисляется по формуле:

.

Определение. Размещениями из элементов по в каждом называют такие соединения, в каждое из которых входит элементов, взятых из данных элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из элементов по находят по формуле

.

Пример14.2. На станции имеется 6 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

Решение. Число способов вычисляется по формуле:

или .

Определение. Сочетаниями из элементов по называют соединения, в каждое из которых входит элементов, взятых из данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из элементов по находят по формуле

.

Для упрощения вычислений при полезно использовать следующее свойство сочетаний:

.

Пример14.3. Бригадир должен отправить на работу звено из 18 человек. Сколько таких звеньев можно составить из 20 человек бригады?

Решение. Число звеньев определяется по формуле:

Пример 14.4. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение. В соответствии с формулой находим