ДУ с разделяющимися переменными.

Уравнение в нормальной форме вида

(9.2)

называется ДУ с разделяющимися переменными.

В дифференциальной форме ДУ с разделяющимися переменными имеет вид

.

Представляя в виде перепишем уравнение (9.2) следующим образом:

.

Далее разделим переменные, т.е. используя свойства пропорций, соберем слева функции, содержащие только переменную х, а справа – функции, содержащие переменную у:

.

Интегрируя обе части последнего равенства, получим общий интеграл ДУ:

.

Пример 9.1. Найти частное решение ДУ

, (9.3)

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Заменим и преобразуем уравнение

.

Разделив переменные, получим уравнение .

Интегрируя обе части последнего уравнения, запишем общий интеграл ДУ:

. (9.4)

Поскольку с – произвольная постоянная, то мы можем взять ее в логарифмическом виде, т.е. положить . Тогда решение (9.4) примет вид

.

Воспользовавшись свойством логарифмов,перепишем последнее ра-венство в виде , откуда – общее решение ДУ(9.3).

Найдем частное решение этого уравнения, удовлетворяющее задан­ному начальному условию. Подставив в формулу общего решения х =1 и у = 2, найдем значение постоянной C:

.

Следовательно, искомое частное решение ДУ имеет вид .

Замечание. В этом примере и в дальнейшем мы используем сле­дующие свойства логарифмов:

1. ;
2. ;

3. (n – действительное число).

Пример 9.2. Найти общее решение ДУ

.

Решение. Заменим и преобразуем уравнение:

Проинтегрируем обе части последнего уравнения:

Найдем интегралы:

Таким образом, мы получим решение ДУ в виде

, или

где введено обозначение .

Воспользовавшись свойством логарифмов, находим общее решение исходного уравнения:

, или .

 

Однородное ДУ.

Дифференциальное уравнение называется однород­ным, если функция f (x, y) удовлетворяет условию

, где t – параметр.

Однородное ДУ сводится к ДУ с разделяющимися переменными с помощью подстановки

,

где – новая неизвестная функция.

Пример 9.3. Найти общее решение уравнения

Решение. О бозначив правую часть уравнения , находим .

Следовательно, данное уравнение является однородным.

Для решения этого уравнения применим подстановку , , где – новая неизвестная функ­ция.

Уравнение примет вид

, , .

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим

, , ,

, , .

Так как , то общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

Линейное ДУ.

Дифференциальное уравнение вида

, (9.5)

где P(x), Q(x) – заданные функции, называется линейным ДУ отно­сительно и .

При решении линейного ДУ можно применить подстановку Бернулли

,

, (9.6)

где - новые неизвестные функции.

Подставив формулы (9.6) в уравнение (9.5), получим

. 7)

Группируем первый и третий члены уравнения и выносим v за скобки: .

Выбираем функцию u (x) таким образом, чтобы выражение в скобках обращалось в нуль. Таким образом, получаем систему:

Решая первое уравнение системы, находим одно из его частных решений u (x) (здесь полагаем с = 0). Подставляя затем u (x) во второе уравнение системы и решая его, находим функцию v (x).

Пример 9.4. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения на x и перепишем его

. (9.8)

Получим уравнение вида , где P(x) , Q(x) . Это линейное ДУ. Применим подстановку

, , (9.9)

где – новые неизвестные функции.

Подставим формулы (9.9) в уравнение (9.8):

.

Группируем первый и третий члены и выносим v за скобки:

.

Приравняем к нулю выражение, стоящее в скобках, и решаем систему уравнений (9.10)

Первое уравнение системы (9.10) является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем одно из его решений:

; ; ; ; ;

, . Подставляя во второе уравнение системы (9.10), находим функцию v:

; ; .

Таким образом, получим общее решение исходного уравнения

.

Замечание. Уравнение вида называется линейным ДУ относительно х и х′. При его решении применяют подстановку:

, .

Уравнение Бернулли.

Уравнением Бернулли называется ДУ вида

, (9.11)

где (при n = 0 уравнение (9.11) является линейным, а при n = 1 – уравнением с разделяющимися переменными).

Так же, как и линейное, уравнение Бернулли можно решать с помощью подстановки , или свести к линейному уравнению с помощью подстановки .

Пример 9.5. Найти общее решение ДУ

Решение. Это уравнение Бернулли вида , где .

Сделаем подстановку

, .

Уравнение примет вид

Приравняем выражение в скобках к нулю и решим систему уравнений:

Из первого уравнения системы, находим функцию :

Подставив в уравнение получим уравнение

Далее разделяем переменные и находим функцию :

.

Значит, общее решение уравнения имеет вид

Пример 9.6. Определить тип ДУ 1-го порядка и указать метод его решения.

а) б) в)

Решение. а) В уравнении вынесем общие множители за скобки: .

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. При его решении заменяем разделяем переменные и интегрируем:

, ,

.

б) В уравнении правая часть такова, что ее нельзя представить в виде произведения, а затем разделить переменные.

Разрешим уравнение относительно производной

.

Обозначим . Находим

.

Следовательно, уравнение является однородным ДУ. Для его решения применим подстановку

,

где u = u (x) – новая неизвестная функция.

Кроме этого, уравнение можно записать в виде

или , (9.12)

Уравнение (9.12)является уравнением Бернулли вида , где .

Это уравнение можно решать с помощью подстановки , , где – новые неизвестные функции.

в) Разрешим уравнение относительно производной и преобразуем его:

, , . (9.13)

Уравнение (9.13)является линейным уравнением , где P(x) , Q(x) .

Это уравнение можно решать с помощью подстановки

, ,

где - новые неизвестные функции.