Теоремы сложения и умножения вероятностей

 

Определение. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении события А, или события В, или обоих событий вместе. Обозначается А + В = С.

Например, если событие А – попадание в цель при первом выстреле, событие В – попадание в цель при втором выстреле, то событие С = А + В есть попадание в цель либо при первом выстреле, либо при втором, либо при обоих выстрелах.

Если события и – несовместные, то событие + означает наступление одного из событий или .

Определение. Суммой нескольких событий , , … называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Обозначается С = + +…+ .

Определение. Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении события А и события В. Обозначается .

Например, в саду высадили два дерева. Событие А - первое дерево в этом году даст плоды, событие В - второе дерево в этомгоду даст плоды. Событие означает, что оба дерева в этом году дадут плоды.

Определение. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Обозначается С = … .

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

.

Следствие 1. Если события , , …, образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

.

Определение. Два события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них (причем любого) не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. В противном случае события называются зависимыми.

Например, фары трактора или автомобиля подсоединены параллельно. Отказ в работе левой фары – событие А, отказ в работе правой фары – событие В. События А и В независимые.

Определение. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация из остальных событий (содержащая либо все события, либо часть из них) есть события независимые.

Например, на каждом из трех стеллажей склада находится по 25 поршней первого и второго допуска. Из каждого стеллажа берут по одному поршню. Рассмотрим 3 события: А – взятый с первогостеллажа поршень имеет первый допуск, В – взятый со второго стеллажа поршень имеет второй допуск, С – взятый с третьего стеллажа поршень имеет первый допуск. События А, В, С – независимые в совокупности.

Определение. Условной вероятностью или называется вероятность события А, вычисленной в предположении, что событие В уже наступило.

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность произведения (совместного наступления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Следствие. Вероятность произведения (совместного наступления) нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , , … , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , … , т.е.

.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность произведения (совместного наступления) двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

или .

Пример 14.7. В урне 40 шаров: 15 красных, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шар?

Решение. Извлечение цветного шара означает появление либо красного, либо зеленого. Вероятность извлечения красного шара (событие А): . Вероятность извлечения зеленого шара (событие В): Так как события несовместны, то получаем

.

Пример 14.8. Вероятности появления каждого из трех независимых событий соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность появления

а) только одного из этих событий;

б) двух событий;

в) хотя бы одного события.

Решение.а) Из условия задачи

, , ,

, , .

Пусть событие В – появление только одного из этих трех событий, а так как появится может или , или , или , то

.

Отсюда в силу несовместности и независимости событий

б) Пусть событие – появление только двух событий. Тогда

.

Отсюда

в) Пусть событие – появления хотя бы одного события. Тогда противоположное событие – ни одно событие не появилось в испытаниях, т.е. .

Поэтому . Отсюда

Пример 14.9. Среди 15 микрокалькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, лишь 6 новых, а остальные – бывшие в употреблении. Наугад взято три микрокалькулятора. Какова вероятность, что все они окажутся новыми?

Решение. Рассмотрим события:

– первый из взятых микрокалькуляторов новый;

– второй микрокалькулятор новый;

– третий микрокалькулятор новый.

Тогда вероятность достать новый микрокалькулятор при первой попытке равна

.

Вероятность того, что второй микрокалькулятор будет новым, при условии, что первым уже был отобран новый микрокалькулятор равна (условная вероятность события )

.

Вероятность того, что третьим будет отобран новый микрокалькулятор, при условии, что уже отобраны два новых микрокалькулятора, т.е. условная вероятность события , равна

Искомая вероятность, что все три отобранных микрокалькулятора окажутся новыми, равна