Правила сложения и умножения вероятностей

 

Несколько событий называются несовместимыми, если появление одного из них исключает возможность появления остальных.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

P (AB) =P (A) +P (B). (2.1)

Если имеется счетное множество несовместных событий A 1,..., An, то

. (2.2)

Из правила сложения вероятностей вытекает, что если события A₁, A₂, …, A_n несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице; т.е. если

A_iּA_j =О при i≠j,

то

(2.3)

В частности, если два события А и противоположны, то они образуют полную группу несовместных событий и

(2.4)

Тогда

(2.5)

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:

. (2.6)

Вероятность суммы трех совместных событий

(2.7)

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

В противном случае события являются зависимыми. Условной вероятностью события B при наличии A называется величина

(2.8)

(при этом полагается, что P(A) не равно 0).

Условную вероятность события P(B/A) можно трактовать как вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло.

На практике формулу (2.8) записывают в виде:

(2.9)

Вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого (правило умножения вероятностей).

Правило умножения вероятностей может быть обобщено на случай произвольного числа событий

(2.10)

т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

 

Событие A называется независимым от события B, если его вероятность не зависит от того, произошло событие B или нет, т.е. P(B / A)=P(B).

Для независимых событий правило произведения вероятностей принимает вид:

.(2.11)

Несколько событий A₁, A₂, …, A_n называются независимыми, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает вид:

(2.12)

или

(2.13)

т.е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Заметим, что если имеется несколько событий A₁, A₂, …, A_n, то их попарная независимость (т.е. независимость любых двух событий A_i и A_j, i≠j) еще не означает их независимости в совокупности.

 

Пример 2.1. Сообщение передается одновременно по n каналам связи, причем для надежности по каждому каналу оно повторяется k раз. При одной передаче сообщение (независимо от других) искажается с вероятностью p. Каждый канал связи (независимо от других) «забивается» помехами с вероятностью q; «забитый» канал не может передавать сообщения. Найти вероятность того, что адресат получит сообщение без искажений.

Решение. Обозначим события:

A = {хотя бы один раз сообщение передано без искажений};

Bi = {по i -му каналу сообщение хотя бы один раз было передано без искажений}.

Для выполнения события i-й канал, во-первых, не должен быть забит помехами и, во-вторых, хотя бы одно сообщение по нему не должно быть искажено.

Вероятность того, что канал не «забит» помехами равна 1- q.

Вероятность того, что хотя бы одно сообщение передано без помех – равна 1- pk (p – вероятность того, что все сообщения переданы с искажениями).

Тогда P(B) = (1 - q) (1 - pk).

Вероятность события A, состоящего в том, что хотя бы на одном канале произойдет событие, равна

Пример 1.5. Какова вероятность угадать в спортлото “5 из 36” не менее трех номеров?

Решение. Событие А - угадать не менее трех номеров в спортлото, разбивается на сумму трех несовмеcтных событий:

А₃ - угадать ровно три номера;

А₄ - угадать ровно четыре номера;

А₅ - угадать ровно пять номеров.

При этом P(A)=P(A₃)+P(A₄)+P(A₅), так как события несовместны.

Найдем вероятность P(A₃). Для этого воспользуемся формулой (1.1). Здесь общее число комбинаций n по формуле (1.6) будет равно числу возможных заполнений карточек:

.

Число благоприятствующих комбинаций m в этом случае определяется следующим образом. Выбрать три номера из пяти выигравших можно способами. Однако каждый выбор трех правильных номеров сочетается с выбором двух неправильных номеров.

Число таких выборок равно . Таким образом, число благоприятствующих событий равно произведению найденных чисел:

.

Тогда

.

Аналогично вычисляются , . Таким образом, искомая вероятность будет равна

.