Закон распределения многомерной случайной величины

N-мерной случайной величиной (Х₁, Х₂, …Х_n) называется совокупность одномерных величин Х_{i ,} которые принимают значение в результате проведения одного и того же опыта.

Это можно интерпретировать как случайные точки или случайные векторы в n -мерном пространстве. Например, совокупность n последовательных измерений с.в. Х - система n случайных величин.

Полной характеристикой системы служит закон распределения, который может быть задан функцией распределения или плотностью вероятности.

Функцией распределения n случайных величин (Х₁, Х₂...Х_n) называется вероятность выполнения n неравенств вида Х_i <x_i:

F(x₁, x₂...x_n)=P((Х₁ <x₁)(Х₂ <x₂)... (Х_n <x_n)).

Плотностью распределения системы n непрерывных с.в. называется n-я смешанная частная производная функции F(x₁, x₂...x _n), взятая один раз по каждому аргументу:

.

Плотность распределения систем случайных величин обладает следующими свойствами:

1.

2.

 

Зная закон распределения системы, можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Функция распределения каждой из величин, входящих в систему можно получить, если положить все остальные аргументы равными ¥: F₁(x₁)= F(x₁, ¥......¥) или при выделении из системы случайных величин (Х₁, Х₂, …Х_n) подсистемы случайных величин (Х₁, Х₂, …Х_к)

F_1....к(x₁)= F(x₁......х_к,¥......¥).

Плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, можно получить, интегрируя плотность распределения системы в бесконечных пределах по всем остальным аргументам:

Плотность распределения частной системы случайных величин (Х₁, Х₂, …Х_n) подсистемы с.в. (Х₁, Х₂, …Х_к) определяется так:

Условным законом распределения системы случайных величин (Х₁, Х₂, …Х_n) называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что остальные величины (Х_к+1, Х _к+2, …Х_n) приняли значение (х_к+1, х _к+2, …х_n). Условная плотность может быть вычислена по формуле:

Случайные величины (Х₁, Х₂, …Х_n) называются независимыми, если закон распределения каждой частной системы, выделенной из системы (Х₁, Х₂, …Х_n), не зависит от того, какие значения приняли остальные случайные величины.

Плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему:

.

Вероятность попадания случайной точки (Х₁, Х₂, …Х_n) в пределы n -мерной области D выражается n -кратным интегралом:

Эта формула является основной формулой для вычисления вероятностей событий, не сводящихся к схеме случаев. Переходят от схемы событий к схеме случайных величин (чаще всего – непрерывных) и сводят событие А к событию, состоящему в том, что система случайных величин (Х₁, Х₂, …Х_n) окажется в пределах некоторой области D. Тогда вероятность события А может быть вычислена по этой формуле.

13.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Как и в случае одномерных случайных величин, при невозможности точно установить законы распределения, применяют приближенное описание системы случайных величин с помощью минимального количества числовых характеристик.

В качестве основных числовых характеристик используем следующие:

1. Вектор математических ожиданий M=(m₁,m_2,…m_n) – характеризую­щих средние значения величин

2. Вектор дисперсий D =(D₁,D₂,…D_n) – характеризующих их рассеивание

3. Корреляционная матрица

,

где или матрица коэффициентов корреляции

,

характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.

Дисперсия каждой из случайных величин есть, по существу, не что иное, как корреляционный момент и той же величины : , поэтому корреляционная матрица и матрица коэффициентов корреляции принимает вид:

,

где

В случае, когда случайные величины не коррелированы, все элементы, кроме диагональной, равны 0 и корреляционная матрица принимает вид диагональной матрицы:

 

Помимо корреляционной матрицы для описания систем случайных величин может быть использована матрица коэффициентов корреляции. Это матрица, составленная не из корреляционных моментов, а из коэффициентов корреляции (нормированная корреляционная матрица):

,

где

Для некоррелированных случайных величин матрица коэффициентов корреляции вырождается в единичную матрицу:

.