Центральная предельная теорема

 

Данная теорема определяет условия, при которых возникает СВ с нормальным законом распределения – т.е. закон распределения суммы большого числа СВ близок к нормальному.

Эта теорема впервые была сформулирована русским математиком Ляпуновым А.М. (1857-1918).

Одна из простейших форм – относится к случаю одинаково распределенных слагаемых.

Теорема. Если X₁…X_n-случайные независимые величины имеющие одно т тоже распределение с математическим ожиданием m и дисперсией σ², то при увеличении n закон распределения суммы

неограниченно приближается к нормальному.

Теорема Ляпунова. Пусть X₁, …,X_n – независимые случайные величины с математическими ожиданиями m₁, …, m_n и дисперсиями D₁, …, D_n, причем при n→∞

.

При наличии данных условий закон распределения

неограниченно стремится к нормальному при n ®¥

Например, теоремы Муавра–Лапласа – частный случай ЦПТ. Если производится m независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то справедливо соотношение:

Упрощенный вариант – Если СВ есть сумма большого числа независимых СВ, влияние которых на всю сумму мало, то Х имеет закон распределения, близкий к нормальному.

 

Пример. Требуется произвести 60 выплат. Размер выплат случаен, но средняя выплата равна 50, а средне квадратичное отклонение равно 20.

1. Сколько должно быть денег в кассе, чтобы с вероятностью 0Б95 хватило всем?

2. Сколько денег с вероятностью 0,95 останется в кассе, если первоначально было 3500.

 

Решение. Суммарная выплата . На основании центральной предельной теореме для одинаково распределенных слагаемых Y имеет приблизительно нормальное распределение с параметрами

Необходимый запас определяем с использованием функции Лапласа:

Остается

3500-3255,6=244.4.

 

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра-Лапласа устанавливает условия, при которых биномиальную случайную величину можно приближённо рассматривать как нормальную.

Пусть X ~ B (n, p). При n ®¥ и любых фиксированных a и b, a £ b:

p^mqⁿ - m ~ exp[- ] *)

для любых m, удовлетворяющих неравенствам: a £ £ b.

Ошибка приближения зависит от того, достаточно ли велико n, не слишком ли близко p к 0 или к 1 и каково интересующее нас значение m. Эта ошибка в настоящее время хорошо изучена и оценена; при необходимости всю нужную информацию можно найти в литературе.

 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Пусть X ~ B (n, p). Тогда при n ®¥ и любых фиксированных a и b, a £ b:

Теорема Муавра-Лапласа позволяет уточнить связь относительной частоты и вероятности.

По этой формуле можно приближённо находить вероятность a заданного отклонения относительной частоты от вероятности, вычислять необходимое число опытов n, при котором с данной вероятностью a указанное отклонение не превышает e. Исходное уравнение выглядит так: .

ВВЕДЕНИЕ

Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных (ЭД), полученных в результате наблюдений над случайными явлениями.

Перед любой наукой ставятся следующие задачи:

Ø Описание явлений;

Ø Анализ и прогноз;

Ø Выборка оптимальных решений.

Применительно к математической статистике пример задачи первого типа: пусть имеется статистический материал, представляющий собой случайные числа. Требуется его упростить, представить в виде таблиц и графиков, обеспечивающих наглядность и информативность представленного материала.

Пример задачи второго типа: оценка (хотя бы приблизительная) характеристик случайных величин, например, математического ожидания, дисперсии и т.д. Какова точность полученных оценок.

Одной из характерных задач третьего типа является задача проверки правдоподобия гипотез, которая формулируется следующим образом: можно ли предполагать, что имеющаяся совокупность случайных чисел не противоречит некоторой гипотезе (например о виде распределения, наличия корреляционной зависимости и т.д.).

В курсе рассматриваются задачи всех трех типов: способы описания результатов опыта, способы обработки опытных данных и оценки по ним характеристик случайного явления, способы выбора разумных решений.

 

БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ