Предельные теоремы в схеме Бернулли. Формула Пуассона и условия её применимости.

 

 

Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний. Можно получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большом числе испытаний вероятность появления А в одном опыте мала, а произведение пр = λ сохраняет постоянное значение для разных серий опытов (то есть среднее число появле-ний события А в разных сериях испытаний остается неизменным). Применим формулу Бернулли:

Найдем предел полученного выражения при

Таким образом, формула Пуассона

(3.4)

позволяет найти вероятность к появлений события А для массовых (п велико) и редких (р мало) событий.

Предельные теоремы

Предельные теоремы для схем Бернулли

Так как число успехов в последовательности из независимых испытаний Бернулли, можно представить в виде: (1)

где - независимые одинаково распределенные бернуллиевские случайные величины. Мы знаем в явном виде распределение , а именно:

,

где - вероятность успеха в единичном испытании.

Вместе с тем, во многих задачах приходится находить вероятности при больших значениях .

Это может вызвать значительные вычислительные трудности ввиду громоздкости биномиальных коэффициентов и необходимости возводить числа и в высокие степени. Ниже мы рассмотрим две важные предельные ситуации, когда биномиальное распределение может быть приближено другими распределениями.

Пуассоновское приближение

Верна следущая предельная теорема:

Теорема Пуассона:

Пусть , таким образом, что , где - заданное число. Тогда для любого фиксированного .Другими словами, в описанном предельном переходе биномиальные вероятности аппроксимируются пуассоновским распределением. Доказательство:

Для краткости будем считать, что , .Тогда

,

поскольку выражение в квадратных скобках стремится к единице, если фиксировано, а .

Нормальное приближение

Здесь мы рассмотрим случай, когда число испытаний в схеме Бернулли растет , а вероятность успеха в единичном испытании остается фиксированной.

Верна так называемая интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра-Лапласа:

Пусть - число успехов в последовательности из независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в единичном испытании . Пусть . При (2),

где .

Замечание 1.

Функция , появившаяся в этой теореме, называется функцией распределения стандартного нормального закона.

Дл язначений этой функции существуют подробные таблицы. Отметим, что она не зависит ни от каких параметров. Следовательно, предел в теореме Муавра-Лапласа является универсальным, так как он не зависит от параметра , который имеется в допредельном выражении. На самом деле, эта теорема является частным случаем другой, еще более универсальной центральной предельной теоремы.

Замечание 2.

Чтобы понять смысл выражения (3),

необходимо вспомнить, что и . Таким образом, это выражение имеет вид . Легко видеть, что , а .

Преобразование (3) называется центрированием и нормированием случайной величины .

Замечание 3.

В предельном переходе " , " фиксировано"

каждая "индивидуальная" вероятность стремится к нулю. Асимптотика этого стремления описывается так называемой локальной предельной теоремой. Что же касается интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа, то можно сказать, что она описывает предельное поведение сумм большого числа таких малых вероятностей. Действительно,

,

таким образом, в последней сумме содержится много (порядка ) слагаемых.

Замечание 4.

Скорость сходимости в (2) хорошо изучена. Имеет место так называемая оценка Берри-Эссеена:

Существует такое , что

.

 

О применимости предельных теорем в схеме Бернулли

Следует различать ситуации, когда к схеме Бернулли можно применить пуассоновскую, а когда нормальную аппроксимации. Из формулировок теорем Пуассона и Муавра-Лапласа, а также Замечания 4 можно вывести следующие общие правила:

1.Если велико, а не велико, следует пользоваться пуассоновским приближением;

2.Если велико и велико, то можно применять нормальное приближение.

На практике в ситуации, когда имеет порядок сотен, поступают следующим образом: если , то применяют пуассоновское приближение; если же имеет порядок нескольких десятков, топользуются нормальной аппроксимацией.