Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Свойства ковариации и коэффициента корреляции.

 

Коэффициентом ковариации называется выражение:

cov(X,Y)=M[(X-MX)(Y-MY)]=M[XY-XMY-YMX+MX•MY]=MXY-2MX•MY+MX•MY=MXY-MX•MY

Если случайные величины XY независимы, то их коэффициент ковариации равен нулю, обратное в общем случае неверно.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется число:

X*=(X-MX)/σ_x
Y*=(Y-MY)/σ_y

D(X±Y)=M[X±Y-M(X±Y)]²=M[X±Y-MX∓MY]²=M[(X-MX)±(Y-MY)]²=M[(M-MX)²±2(X-MX)(Y-MY)+(Y-MY)²]=M(X_MX)²±2M(X-MX)(Y-MY)+M(Y-MY)²=DX±cov(XY)+DY

Следствие:

Если X и Y независимы, то коэффициент ковариации равен 0 и следовательно

D(X±Y)=DX±DY

Свойства коэффициента корреляции

1. -1≤p_xy≤1
2. Если |p_xy|=1, то с вероятность 1 X и Y связаны линейно.
То есть, если коэффициент корреляции |p_xy|=1, то результаты опыта лежат на прямой

В общем случае Y можно представить в виде

y=ax+b+z DZ=σ_y²(1-p_xy)²

Коэффициент корреляции является мерой близости линейной связи между случайными величинами X и Y: чем ближе коэффициент корреляции по модулю к 1, тем более тесно результаты конкретного испытания над X и Y соотносятся с прямой ax+b.

Свойства ковариации Править

§ Ковариация симметрична:

.

§ В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как

.

§ Пусть случайные величины, а их две произвольные линейные комбинации. Тогда

.

В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции) не инварианта относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях.

§ Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии:

.

§ Если независимые случайные величины, то

.

Обратное, вообще говоря, неверно.

§ Неравенство Коши — Буняковского:

.

Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство и теория Чебышева

Неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева, используемое для доказательства дальнейших теорем, справед-ливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Докажем его для дискретных случайных величин.

 

Теорема 13.1(неравенство Чебышева). p( | X – M (X)| < ε) ≥ D (X) / ε². (13.1)

Доказательство. Пусть Х задается рядом распределения

Х	х 1	х 2	…	хп
р	р 1	р 2	…	рп

 

Так как события | X – M (X)| < ε и | X – M (X)| ≥ ε противоположны, то р (| X – M (X)| < ε) + + р (| X – M (X)| ≥ ε) = 1, следовательно, р (| X – M (X)| < ε) = 1 - р (| X – M (X)| ≥ ε). Найдем р (| X – M (X)| ≥ ε).

D (X) = (x ₁ – M (X))² p ₁ + (x ₂ – M (X))² p ₂ + … + (x_n – M (X))² p_n. Исключим из этой суммы те слагаемые, для которых | X – M (X)| < ε. При этом сумма может только уменьшиться, так как все входящие в нее слагаемые неотрицательны. Для определенности будем считать, что отброшены первые k слагаемых. Тогда

D (X) ≥ (x_{k+ 1} – M (X))² p_{k+ 1} + (x_{k+ 2} – M (X))² p_{k +2} + … + (x_n – M (X))² p_n ≥ ε² (p_{k+ 1} + p_{k+ 2} + … + p_n).

Отметим, что p_{k+ 1} + p_{k+ 2} + … + p_n есть вероятность того, что | X – M (X)| ≥ ε, так как это сумма вероятностей всех возможных значений Х, для которых это неравенство справедливо. Следовательно, D (X) ≥ ε² р (| X – M (X)| ≥ ε), или р (| X – M (X)| ≥ ε) ≤ D (X) / ε². Тогда вероятность противоположного события p( | X – M (X)| < ε) ≥ D (X) / ε², что и требо-валось доказать.