Зависимость и независимость двух случайных величин. Числовые характеристики двумерной с.в. Математическое ожидание и дисперсия.

Распределения соответствующих компонент в одной и другой таблицах одинаковы. Однако очевидно, что эти таблицы описывают абсолютно различные распределения двумерного случайного вектора (все значения в одной таблице отличны от соответствующих значений в другой таблице).

Таким образом, на поставленный выше вопрос можно дать следующий ответ: «Зная законы распределения отдельных случайных величин X и Y, входящих в систему, найти закон распределения всей системы в общем случае нельзя».

Заметим, что это можно сделать только в одном частном случае, когда случайные величины X и Y, образующие систему, независимы.

Определение. Две случайные величины X и Y называются независимыми, если независимы все связанные с ними события.

Например, и ; и и т.д.

Замечание. Так как зависимость и независимость событий всегда взаимны (если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A), поэтому зависимость и независимость случайных величин также всегда взаимны: если случайная величина X не зависит от случайной величины Y, то Y не зависит от X.

В терминах законов распределения независимость случайных величин можно определить так: «Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая».

Если компоненты X и Y двумерного вектора независимы, то функция распределения выражается, через функции распределения отдельных компонент:

.

Верно и обратное утверждение. Это правило является необходимым и достаточным условием независимости для случайных величин любого типа.

Необходимые и достаточные условия независимости компонент X и Y для дискретного и непрерывного случаев:

1. X и Y являются независимыми дискретными случайными величинами тогда и только тогда, когда для всех значений индексов i и j выполняется

.

2. X и Y являются независимыми непрерывными случайными величинами тогда и только тогда, когда

.

Отметим, что допускается нарушение последнего равенства на множестве точек , имеющих двумерную площадь, равную нулю.

Ответ: компоненты X и Y независимы.

Замечание. В данном случае независимость компонент X и Y можно было установить, внимательно посмотрев на исходную таблицу, задающую закон распределения случайного вектора . Из этой таблицы видно, что закон распределения каждой из компонент не зависит от того, какое значение приняла другая компонента.

 

 

Числовые характеристики двумерных случайных величин.

Def: математическим ожиданием составляющей двумерной дискретной случайной величины называют число:

Математическим ожиданием составляющей двумерной дискретной случайной величины называют число:

Def: математическим ожиданием составляющей непрерывной двумерной случайной величины называют число:

, где

В результате получим:

Математическим ожиданием составляющей непрерывной двумерной случайной величины называют число:

Def: дисперсией составляющей двумерной дискретной случайной величины называют число:

Дисперсией составляющей двумерной дискретной случайной величины называют число:

Def: дисперсией составляющей двумерной непрерывной случайной величины называют число:

 

 

дисперсией составляющей двумерной непрерывной случайной величины называют число:

Корни квадратные из дисперсии называют средними квадратичными отклонениями составляющих:

Корреляционный момент (ковариация).