Теоремы о непрерывных функциях

 

Перейдем к доказательству важнейших теорем о непрерывных функциях.

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения.Тогда существует такая точка с принадлежащая [а,b] в которой f(c)=0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(a)<0, f(b)>0. Ситуация выглядит так:

Для доказательства теоремы снова используем метод деления отрезка пополам.

1. Деление отрезков пополам.

Разделим отрезок [a, b] пополам. Середина его будет точка . Тогда возможны такие варианты:

а) . В этом случае, взяв , теорему можно считать доказанной.

б) . В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [a₁, b₁].

в) В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [a₁, b₁].

Проделаем такую же процедуру с отрезком [a₁, b₁], получив отрезок [a₂, b₂], затем то же самое с отрезком [a₂, b₂], получив отрезок [a₃, b₃] и т.д. Заметим, что для дальнейшего рассмотрения все время оставляется тот отрезок, для которого f(a_n)<0 и f(b_n)>0.

2. Построение точки С.

В результате этой процедуры возможны два варианта.

А. На каком-то шаге n получится, что . В этом случае в качестве точки С следует взять и теорема будет доказана.

Б. .

В этом случае мы получаем систему отрезков [a_n, b_n], для которой

а) [a,b] É[a₁, b₁] É [a₂, b₂] É[a₃, b₃]…

б)

в)f(a_n)<0; f(b_n)>0

Но тогда, по лемме о вложенных отрезках, существует . Используя непрерывность функции f(x), получим

т.к. всегда было f(a_n)<0, f(b_n)>0. Сравнивая эти два неравенства получим, что f(c)=0, что и требовалось доказать.<

Вторая теорема Больцано-Коши. Пустьf(x) определена и непрерывна на отрезке <a,b> и . Тогда m<C<M сÎ<a,b> f(c)=C.

Примечание. Символ < означает любой из двух символов – (или [, а символ > - любой из двух символов -) или ]. Таким образом, отрезок <a, b> означает любой из следующих отрезков – [a,b], (a,b], [a,b), или (a,b).

Доказательство.

Так как к супремуму и инфимуму можно подойти сколь угодно близко, то можно утверждать, что

x₁Î<a, b> m<f(x₁)<C

x₂Î<a, b> C<f(x₂)<M

Очевидно, что отрезок [x₁, x₂] Ì <a, b>.

Рассмотрим функцию j (x)=f(x)-C. Для нее имеем:

j (x₁)=f(x₁)-C<0; j (x₂)=f(x₂)-C>0.

Согласно первой теореме Больцано-Коши, сÎ<a, b>, такая, что j (с)=0. Но тогда эта же точка сÎ<a, b> и для нее j(с)=f(c)-C=0, т.е. f(c)=C. <

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие числа m и M, что x принадлежащего [a,b] f(x) больше либо равно m и меньше либо равно M.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Предположим противное – пусть, например, функция f(x) неограничена сверху.

1. Построение последовательности. Мы предположили, что f(x) неограничена сверху на [a,b]. Это означает, что для любого числа А найдется такая точка xÎ[a,b], что f(x)>A. Возьмем в качестве числа А числа 1, 2, 3, 4,… Тогда , что f(x_n)>n.Мы получили, таким образом, некоторую последовательность {x_n}Î[a,b] и удовлетворяющую свойству f(x_n)>n.

2. Выделение подпоследовательности. Так как последовательность {x_n} ограничена, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {x_n}, т.е. . В силу замкнутости отрезка [a, b] точка cÎ [a,b]. (Отметим,что в этом месте используется ограничение теоремы – замкнутость [a,b]. Если бы, например, был (a,b), то с могла бы и не принадлежать (a,b)).

3. Сведение к противоречию. Т.к. согласно п.1 , то, переходя к пределу k®¥получим т.е. f(c)=+¥, что противоречит условию теоремы, где сказано, что f(x) определена на отрезке [a,b],что означает, что f(c) должна иметь конечное значение. <

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке[a,b]. Тогда существуют такие точки x₁, x₂ принадлежащие [a,b], что , т.е. инфимум и супремум f(x) достигаются на [a,b].

Доказательство.

Докажем теорему только для супремума.

1. Построение последовательности. По первой теореме Вейерштрасса, f(x) ограничена сверху на [a,b],т.е.

По свойствам супремума, к нему можно подойти сколь угодно близко. Поэтому . Беря n=1,2,3,… получим последовательность {x₁, x₂, x₃,…}такую, что .

2. Выделение подпоследовательности. Т.к. n a£ x_n£ b, то по лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности {x_n} можно выделить сходящуюся подпоследовательность такую, что , причем сÎ[a,b] в силу его замкнутости.

3. Достижение супремума. Для нашей подпоследовательности верно условие

.

4.Переходя к пределу k®¥ получим

.

Но , кроме того, в силу непрерывности f(x), . В результате получим, что M£f(c)£ M, т.е. f(c)=M и супремум f(x) достигается в точке с.<