Типы неопределенных выражений

 

При решении различных практических задач большую роль играют так называемые неопределенные выражения или, коротко, неопределенности. Рассмотрим основные их типы.

Пусть имеются две функции u(x) и v(x).

1. Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа . Процесс вычисления этого предела называется "раскрытием неопределенности". Разумеется, что формула здесь неприменима. так как

2. Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа .

3. Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа . Разумеется, и здесь нельзя пользоваться формулой

Степенные неопределенности.

Рассмотрим теперь предел вида .

Так как , то, пользуясь непрерывностью функции e^x, можно записать

.

Это можно сформулировать в виде следующего правила: для вычисления предела выражения вида u(x)^v(x) надо это выражение сначала прологарифмировать.

Какие же неопределенности могут иметь здесь место? Так как приходится вычислять lim[u(x)v(x)], а здесь возможна только неопределенность типа , то возможны следующие варианты.

4. . Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа .

5. . Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа 0⁰.

6. . Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа 1^¥.

 

 

 

 

 

9) Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное

число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно

независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда

равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim (im (A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы A обозначается () или . Оба обозначения пришли к нам из

иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского

языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Определение

Пусть — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:ноль, если A — нулевая матрица;

число , где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_{r + 1} — окаймляющий к н

ему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда , если они существуют. Связанные определения Базисный минор Ранг матрицы M размера называют полным, если . Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где . Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)[править] Свойства Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы A, тогда: базисные строки и базисные столбцы линейно независимы; любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).Следствия: Если ранг матрицы равен r, то любые p: p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы. Если A — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы. Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r. Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение A ∼ B для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если A ∼ B, то их ранги равны.Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности: Количество главных переменных системы равно рангу системы. Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных. [править]Линейное преобразование и ранг матриц Пусть A — матрица размера над полем C (или R). Пусть T — линейное преобр азование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T (x) = Ax. Ранг матрицы A — это размерность области значений преобразования T.