Теорема про рівноскладеність прямокутника і паралелограма.

Якщо М₁ w M₂ <=> S(M₁)=S(M₂) => поняття рівновеликості і рівноскладеності многокутників еквівалентні.

Теорема 2.2.1.

Прямокутник і паралелограм, які мають спільну основу і рівні висоти, є рівноскладеними.

 

 

 

Доведення.

Позначимо АМВ= 1, DNC= 2. Чотирикутник ABND спільний для паралелограма ABCD i прямокутника AMND. Цей чотирикутник ABND доповнюється 1 до прямокутника AMND, a 2 - до паралелограма ABCD. Розглянемо 1 і 2. Вони прямокутні, AB CD, як протилежні сторони паралелограма, тобто за означенням паралелограма

(за гіпотенузою і катетом).

Отже, ми розбили прямокутник і паралелограм на однакову кількість конгруентних многокутників, а з цього випливає, що паралелограм ABCD рівноскладений з прямокутником AMND.

 

Теорема про рівноскладені паралелограми.

 

Теорема 2.2.2.

Два паралелограми з спільною основою і рівними висотами є рівноскладеними.

 

 

Доведення.

Розглянемо паралелограм AB'C'D, який має спільну основу з паралелограмом ABCD i висоту, конгруентну висоті паралелограма ABCD. За Т.2.2.1

за транзитивністю рівноскладеності многокутників.

Теорема 2.2.3.

Паралелограми, основи і висоти яких конгруентні, є рівноскладеними.

Теорема 2.2.4.

Трикутник і паралелограм, які мають спільну основу, а висоти яких відносяться як 2:1, є рівноскладеними.

 

 

Дано: DABC,

AMPC - паралелограм,

АС - спільна,

BD=h — висота,

h_AMPC =1/2 h

Довести: DABC w AMPC

Доведення.

[BD]^[AC], |BD|=h_DABC, E - середина [BD], тобто |BE|=|ED|, EÎ(MN), (MN)||(AC) => (MN) - середня лінія DABC:

|ED|=h_AMPC =1/2 h_DABC.Трапеція AMNC спільна як для DABC, так і для паралелограма AMPC.

Розглянемо DMBN i DPCN. Оскільки MN-середня лінія DABC, то звідси випливає, що

(за теоремою абсолютної геометрії), як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих (AB) і (PC) і січній (BC).

Тоді DMNB DPNC (за I-ю ознакою конгруентності трикутників). Отже, DABC i паралелограм AMPC розбиті на однакову кількість конгруентних многокутників, а значить, за означенням, вони є рівноскладеними, що і треба було довести.

Наслідок.

Трикутники, які мають конгруентні основи і конгруентні висоти, є рівноскладеними.

Дано: DABC, DA¢B¢C¢, ACA¢C¢, h_DABC =h_DA¢B¢C¢, тобто h=h¢.

Довести: DABC w DA¢B¢C¢.

Доведення.

 

 

За доведеною теоремою 2.2.4 маємо, що:

1. DABC w AMPC (AC - спільна, h_AMPC =1/2 h).

2. DA'B'C' w A'M'P'C' (A¢C¢ - спільна, h_A¢M¢P¢C¢=1/2 h').

Розглянемо паралелограми AMPC i A'M'P'C'. Маємо: AC A'C'.

.

Тоді за Т.2.2.3 паралелограми AMPC i A'M'P'C' рівноскладені. Отже, DABC w AMPC, AMPC w A'M'P'C' => DABC w A'M'P'C', A'M'P'C' w DA'B'C' => DA'B'C' w DABC.

 

 

Теорема про рівно складені трикутники.

Теорема. Будь-який трикутник ABC рівноскладений з деяким прямокутником.

Доведення. Нехай [ AB ]- більша сторона трикутника ABC (рис.1.2 ). Тоді основа висоти [ CH ] належить відрізку [ AB ]. Через точку M - середину висоти [ CH ]- проведемо пряму a, паралельну (AB). Позначимо через P, L, E і F точки перетину прямої a зі сторонами [ AC ] і [ BC ], а також проекції точок A і B на пряму a відповідно.

 

Рис.1.2 До Доведення Леми 2

 

Тепер рівноскладеність ∆ ABC і прямокутника AEFB витікає з умов

∆ AEP =∆ CMP, ∆ BFL =∆ CML. Лема доведена.

Теорема про рівноскладеність многокутника і трикутника.

 

Теорема.

Будь-якому многокутнику можна поставити у відповідність рівновеликий і рівноскладений з ним трикутник.

Доведення.

Нехай ми маємо многокутник ABCDE. Побудуємо АС, через точку В проведемо пряму, паралельну до АС, і визначимо точку перетину цієї прямої з CD. Це буде точка М. Розглянемо ABC i AMC, AC - спільна і висоти рівні: Отже, вони рівновеликі, а значить і рівноскладені.

S( ABC)=S( AMC), Þ ABC w AMC

 

 

В

А

Е

D

C

P

M

 

Таким чином, п`ятикутнику ABCDE ми можемо поставити у відповідність рівновеликий і рівноскладений з ним чотирикутник AMDE, оскільки ми відкинули AВС і приклали рівновеликий і рівноскладений з ним AМС.

S(ABCDE)=S(AMDE), ABCDE w AMDE (2.2.1)

Побудуємо в чотирикутнику AMDE діагональ AD, через точку M проведемо пряму, паралельну до AD, і знайдемо точку перетину її з DE, отримаємо точку P. Проведемо пряму AP. Розглянемо APD i AMD. У них спільна основа AD i рівні висоти, бо точки M i P лежать на паралельних прямих, отже S( APD)=S( AMD), вони рівновеликі, а отже і рівноскладені APD w AMD.Розглянемо чотирикутник AMDE і відкинемо від нього AMD, a прикладемо APD. Отримаємо APE, рівновеликий і рівноскладений з чотирикуиником АМDE.

S(AMDE)=S( APE), AMDE w APE. (2.2.2)

З рівностей (1) і (2) в силу транзитивності відношень рівновеликості і рівноскладеності многокутників, отримаємо:

S(ABCDE)=S( APE), ABCDE w APE. (2.2.3)

Таким чином, даному п'ятикутнику ABCDE ми поставили у відповідність рівновеликий і рівноскладений з ним APE.

Теорема 2.2.7. (Бояй-Гервіна).

Будь-які два рівновеликі многокутники є рівноскладеними.

(рівновеликі многокутники є рівноскладеними).

Доведення

Нехай маємо два рівновеликі многокутники М₁ і М₂, тобто їх площі рівні: S(M₁)=S(M₂). Нам потрібно довести, що вони рівноскладені. Многокутнику М₁ поставимо у відповідність рівновеликий і рівноскладений з ним трикутник D1 (за теоремою 6), а многокутнику М₂ - трикутник 2.

За теоремою 5, два рівновеликі трикутники є рівноскладеними 1 w 2.

 

.