Система аксіом евклідової геометрії Г.Вейля.

В останні десятиріччя при розгляданні питань пов’язаних з обґрунтуванням геометрії все більшу перевагу надають аксіоматиці Вейля. Цю аксіоматику називають також точково-векторною, оскільки в ній основними неозначуваними поняттями є точки і вектори.

Система аксіом Вейля описує основні шість понять, два з яких – точки і вектори – називаються основними об’єктами. Поняття «додавання векторів», «множення вектора на число», «скалярний добуток векторів» і «відкладання вектора від точки» називаються основними відношеннями. Аксіоми Вейля розподіляються на п’ять груп. Причому аксіоми перших трьох і перших чотирьох груп складають відповідно аксіоматику афінного і евклідового простору. Сукупності усіх точок і векторів позначаються відповідно символами і .

АКСІОМИ ДОДАВАННЯ ВЕКТОРІВ

Перша група аксіом описує відображення j₁: ´ ® , що називається операцією додавання векторів, яка дозволяє поставити у відповідність будь-яким двом векторам , третій вектор j₁(, ), який визначається сумою векторів , і позначається символом + .

Операція додавання векторів задовольняє наступним аксіомам:

1/ Додавання векторів комутативне: для довільних двох векторів і справедлива рівність:

+ = + , тобто для " , Є (( + ) = ( + )).

2/ Додавання векторів асоціативне: для " трьох векторів , , справедлива рівність:

( + )+ = +( + ), тобто для " , , Є

(( + )+ ) = ( +( + )).

3/ Існує такий вектор , що для " вектора : + = , тобто

(для " Є , існує Є ) ( + = ).

4/ Для " вектора існує такий вектор ´, що + ´= , тобто

(для " Є існує x´ Є ) ( + ´= ).

Вектор називається нульовим, а ´- вектором, протилежним вектору .

1.2 АКСІОМИ МНОЖЕННЯ ВЕКТОРА НА ДІЙСНЕ ЧИСЛО

Друга група аксіом описує відображення j₂: ´ ® , що називається операцією множення вектора на дійсне число. Кожному вектору і числу l Є одночасно співставляється вектор j₂(l,), який називається добутком вектора x на число l і позначається символом l . Операція j₂ задовольняє наступним умовам:

1/ Операція j₂ дистрибутивна відносно додавання векторів: для " векторів , і будь-якого дійсного числа l справедлива рівність:

l( + )=l +l , тобто

(для " Є , l, m Є ) ((l( + ) = l +l ).

2/ Операція j₂ дистрибутивна відносно додавання чисел: для " вектора і довільних дійсних чисел l, m справедлива рівність:

(l+m) = l +m , тобто

(для " Є , l, m Є ) ((l+m) = l +m ).

3/ Операція асоціативна: для довільного вектора і " l, m виконується формула: l(m ) = (lm) , тобто

(для " Є , l, m Є ) (l(m ) = (lm) ).

4/ Операція множення вектора на одиницю не змінює вектора :

1´ = , тобто (для " Є ) (1´ = ).

Аксіоми 1-2 дозволяють визначити поняття векторного простору.

Векторним простором над полем дійсних чисел називається мно-жина , для елементів (векторів) якої визначені операції додавання векто-рів j₁(, ) = + і множення вектора на дійсне число (j₂(l, ) = l ) так, що виконуються вимоги аксіом 1-2.

Векторний простір є математичною структурою (, j₁, j₂) з базис-ною множиною і операціями j₁, j₂.

Нагадаємо поняття ізоморфізму векторних просторів і ´. Взаємно однозначне відображення векторного простору V на векторний простір

´ (: ® ´) називається ізоморфізмом, якщо воно переводить суму

" двох векторів , Є і добуток вектора x на число l Є відповідно в суму () + () і добуток l (), тобто якщо для довільних векторів , Є і довільного числа l Є ( + ) = ()+ (),

(l ) = l (). Векторні простори і ´ називаються ізоморфними, якщо існує принаймні один ізоморфізм на ´.

Із означення випливає, що

1/ тотожне відображення ® є ізоморфізмом; 2/ відображення обернене ізоморфізму є ізоморфізмом; 3/ якщо ₁: ® ´ і ₂: ´® ´´ – ізоморфізми, то відображення _{2 1} простору V на простір V´´ також є ізоморфізмом. Отже відношення ізоморфізму є відношенням евквівалентності (тобто воно рефлексивне, симетричне і транзитивне).

Перш ніж перейти до формулювання аксіом розмірності нагадаємо ряд понять із курсу алгебри.

Система векторів ₁, ₂,..., _k (1.1) називається лінійно незалежною, якщо рівність l_{1 1}+l_{2 2}+...+l_{k k} = q, де l₁,l₂,...,l_k Є , можлива лише в тому випадку, коли всі l₁,l₂,...,l_k рівні нулю; в протилежному випадку система (1.1) лінійно залежна.

Вектор l_{1 1}+l_{2 2}+...+l_{k k} (1.2), де l₁,l₂,...,l_k Є називається лінійною комбінацією векторів ₁, ₂,..., _k. Лінійна комбінація виду · ₁+ · ₂+...+ · _k (рівна нульовому вектору) називається (правильною) тривіальною; лінійна комбінація (1.2) називається нетривіальною, якщо у ній хоча б один із коефіціентів l₁,l₂,...,l_k не рівний нулю.

У випадку лінійної залежності системи векторів x₁,x₂,...,x_k нульовий вектор може бути представлений у вигляді нетривіальної комбінації векто-рів, у випадку ж лінійної незалежності - тільки у вигляді тривіальної.

АКСІОМИ РОЗМІРНОСТІ.

1. Існують три лінійно незалежних вектори ₁, ₂, ₃:

l_{1 1}+l_{2 2}+l_{3 3} = ® l₁ = l₂ = l₃ = 0.

2. Будь-які чотири вектори , , , лінійно залежні:

(для довільних , , , існують l₁,l₂,l₃,l₄)

(l₁ +l₂ +l₃ +l₄ = q ® l₁²+l₂²+l₃²+l₄² ),

(, , , Є , l₁,l₂,l₃,l₄ Є ).

Аксіоми 1-3 дозволяють ввести поняття тривимірного простору.

Векторний простір називається тривимірним векторним простором ₃ над полем , якщо виконуються аксіоми 1-2 розмірності.

Щоб одержати аксіоматику n-вимірного векторного простору над полем , аксіоми 1-2 замінюють на слідуючі:

1´. Існує n лінійно незалежних векторів: ₁, ₂, ₃.

2´. Будь-яка система. що містить n+1 вектор лінійно залежна.

Множина , для елементів якої визначені операції додавання і мно-ження їх на дійсні числа з дотриманням перелічених вище властивостей (аксіом 1-3), називається n-вимірним векторним простором і позначається символом _n (елементи простору _n називаються векторами).

Кожна система n лінійно незалежних векторів простору _n назива-ється базисом (наприклад, система ( ₁, ₂, ₃). При n=3 аксіоми 1, 2 співпадають з аксіомами 3, 1-2, то багато результатів легко можуть бути узагальнені на випадок n-вимірних просторів.

1.4 АКСІОМИ СКАЛЯРНОГО ДОБУТКУ ВЕКТОРІВ.

Четверта група аксіом описує відображення j₃: ₃´ ₃ ® , що на-зивається операцією скалярного множення векторів. Ця операція дозволяє двом векторам і однозначно віднести дійсне число j₃(, ). Надалі скалярний добуток векторів , позначається символом xy таким чином, j₃(, )= . Перерахуємо аксіоми скалярного добутку векторів. 1/ Скалярний добуток комутативний: для " двох векторів , виконується рівність = , тобто (для " , Є ) ( = ).

2/ Скалярний добуток векторів лінійний: для " трьох векторів , ,

дійсних чисел l,m виконується рівність (,l +µ ) = l +µ , тобто

(для " , , Є , l,m Є )(,l +µ )=l +µ . 3/ ´ , якщо ¹ , ´ =О, якщо = , тобто для

(" Є ) ( ¹ ® ´ >0, = ® ´ = ).

Аксіоми груп 1-4 дозволяють ввести поняття евклідового векторного простору і ізоморфізму таких просторів.

Векторний простір ₃, в якому визначена операція скалярного мно-ження векторів так, що виконуються вимоги аксіом 4, 1-3, називається евклі-довим векторним простором ₃.

Два евклідові векторні простори і ´ називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне лінійне відображення f простору на ´,

що зберігає операцію скалярного множення векторів.

Якщо = ´, то відображення (ізоморфізм) називається ізоморфіз-мом простору .

Відмітимо, що евклідів векторний простір є структурою (,j₁,j₂,j₃,) з базисною множиною V операціями j₁,j₂,j₃. Невід’ємна величина

____

| |=√| |² називається довжиною вектора . Кутом між векторами ,y називається число j (0£j£p), що визначається з умови

cos j= ¾¾¾¾¾.

| |´| |

 

Із курсу алгебри відомо, що для " , Є ₃ виконується нерівність Коші-Буняковського

| |£| |´| | (1.3) У просторі ₃ можна побудувати ортонормований базис, тобто ба-зис ₁, ₂, ₃, що складається із попарно ортогональних і одиничних век-торів:

₁²= ₂²= ₃²=1, _{1 2}= _{1 3}= _{2 3}=.

 

Скалярний добуток двох векторів x,y, скалярний квадрат вектора і ко-синус кута між двома векторами в ортонормованому базисі виражаються відповідно формулами:

 

´ = _{1 1}+ _{2 2}+ _{3 3}, (1.4)

²= ₁²+ ₂²+ ₃², (1.5)

 

_{1 1}+ _{2 2}+ _{3 3}

cos j= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾, (1.6)

√ ₁²+ ₂²+ ₃² ´√ ₁²+ ₂²+ ₃²

 

де ₁, ₂, ₃ - координати вектора ; ₁, ₂, ₃ - координати вектора у даному базисі.

 

1.5 АКСІОМИ ВІДКЛАДАННЯ ВЕКТОРІВ.

Ця група аксіом описує операцію відкладання векторів j₄: ´ ® , що співставляє двом впорядкованим точкам , Є вектор j₄(, ) з векторного простору , який позначається символом , де - почат-кова точка вектора , а - кінцева.

Операція відкладання j₄ визначається слідуючими аксіомами:

1/ для кожної фіксованої точки А Є відображення ® , що визначене за законом j₄(, )= , є взаємно однозначним відображен-ням множини точок Є на множину векторів з (мал. 1).

 

 

 

мал. 1

 

2/ Для " трьох точок , , справедлива рівність + = (аксіома трикутника) (мал.2).